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 » Théorème 1. Si iéqualion 



(i) x'"— k,x"'-' -\- A„jr'"-*-...4- {- if kpOc"'-P -^ . . .+ [-^ ■i)"' k,„= o 

 a taules ses racines positives, les quantités k,, As,..., A,„ vérifient les inégalitéb 



( A^ > C,„.p '"s/ÏKj; . . . , A,„_, > ,n v(A,„r-'. 



>) Démonstration. La moyenne arithmétique entre les C,„,p produits dont 

 se compose A^ est ^- La moyenne géométrique entre ces mêmes produits 



est,d'après le lemmell, égale à ''"^(A,„f''-'"^'. D'ailleurs C,„,p= ^ €,„_,./,_,. 

 Donc, d'après le lemine I, 



■p p 



^ > \{A,„)P. 



» Corollaire. Si une équation de la forme (i) n'a pas de racines nécja- 

 tives (*), et quune au moins des inégalités (i) ne soit pas vérifiée, cette équa- 

 tion a des racines imaginaires. 



» Par exemple, l'équation 



X* — 5 X* -+- 6.r^ — 8 a: + 2 = o 



a des racines imaginaires, parce que l'on a 



6 < 6 V^. 



» Lemme III. Pour former l'équation aux carrés des racines d'une équation 

 donnée 



(3) x'"-h A,x'"-' + AaJ:'"-» + A,a;'"-»+...+ A„ = 0, 



il suffit d'égaler à zéro te produit des deux polynômes 



a:'" + A, X'"-' -t- A, x^-" + . . . + A,„ , 

 x^ - A, x-"-' + A^x'"-'' -H . . . ±: A„ , 



et de remplacer, dans ce dernier produit, x* par y. 



(*) Pour qu'une équation /(x) = o n'ait pas de racines négatives, il suffit que /( — x) 

 ne présente aucune variation. Il est toujours facile de satisfaire à cette condition, en augmen- 

 itant toutes les racines de la proposée, d'une quantité X convenablement choisie. 



