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 '> Théorème II. Si l'équation (3) rt toutes ses racines réelles^ les coef'fi' 

 dents A,, A,, Aj, . . . A,„ vérifient les inégalite's 



-(aA,-A?)>mV(A,„f, 

 + (aA,-2A,A3 + A?)>^_-=^^v(XV, ^ 



(.A,-.A,A,+ .A,A,-A^)>'"~(^]i-^V(W, 



,4 J 



» Démonstration. D'après le lemme III, l'équation aux carrés des racines 

 étant 



( 5 ) 7'" - B, f"-' + B, j'"-» - B, j'"-' + . . . ± B„, = o, 



on a 



B, = - (2 A, - A?), B, = + (a A, - 2 A, A, + A'-), . . ., B,„ = A,t 



» D'un autre côté, la proposée (3j n'ayant pas de racines imaginaires, la 

 transformée (5) doit avoir toutes ses racines positives. On peut donc y ap^ 

 pliquer les inégalités (4). 



» Corollaire. — Si une, au moins, des inégalités (4) n'est pas vérifiée, l'équa- 

 tion proposée a des racines imaginaires. 



» Remarque. — L'application du dernier corollaire pourra déceler l'exis- 

 tence de racines imaginaires dans des cas où le théorème I serait insuffisant. 

 Soit, par exemple, l'équation 



x'— 7 X* + i3x' — i-2a:^ + 6a;' — I = o. 

 On a " 



7 > 5, i3>io, i2>io, 6>5; 



en sorte que l'on ne peut encore rien conclure. Mais si l'on multiplie le pre- 

 mier membre par 



on forme l'équation 



7* — 'i.'ij'' + 1 3 r' — ^-7' +127—1 = 0, 



