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plans tangents aux différents points de cette ligne soient équidistanls d'un point O, 

 celte ligne est située sur une sphère décrite du point O comme centre. 



» Abaissons en effet du point O des perpendiculaires sur les plans tan- 

 gents menés à la surface par les points de la ligne de courbure considérée. 

 Le lieu de leurs pieds sera une courbe sphérique dont une normale en un point 

 quelconque P passera évidemment par le point O ; d'ailleurs, en vertu du 

 théorème précédent, une autre normale passe par le milieu du rayon OM qui 

 aboutit au point correspondant de la surface donnée; la tangente à la courbe 

 lieu des points P est donc perpendiculaire au plan MOP, et par suite à la 

 ligne MP. Or, quand une surface développable est circonscrite à une sphère, 

 les perpendiculaires abaissées du centre de cette sphère sur les plans tangents 

 de la surface ont leurs pieds sur les génératrices, et, par suite, la courbe lieu 

 des points P est située sur la surface développable et coupe les génératrices 

 à angle droit. Mais la courbe heu des points M étant par hypothèse une 

 ligne de courbure coupe aussi à angle droit les génératrices de la même 

 surface, ces deux courbes sont donc équidistantes, MP est constant, et comme 

 OP l'est aussi par hypothèse, il en est de même de OM, ce qui démontre la 

 proposition énoncée. 



» Cela posé, rappelons que la surface des ondes peut être engendrée de 

 deux manières différentes : i° elle est le lieu des extrémités des perpendi- 

 culaires élevées aux sections diamétrales d'un ellipsoïde E et égales aux 

 axes de ces sections; 2° elle est l'enveloppe des plans parallèles aux sections 

 diamétrales d'un second ellipsoïde E' et menés à des distances inversement 

 proportionnelles aux axes de ces sections. Pour obtenir tous les plans tan- 

 gents de la surface des ondes situés à une distance h du centre, il faut 

 chercher dans l'ellipsoïde E' les sections diamétrales qui ont un axe de lon- 

 gueur ji pour cela on coupera cet ellipsoïde par une sphère concentrique 



de rayon j> et l'on mènera les plans tangents au cône ayant pour sommet 



le centre de la surface et pour base son intersection avec la sphère. Les 

 plans tangents de la surface des ondes respectivement parallèles aux 

 plans tangents de ce cône seront à une distance /( du centre, et s'ils tou- 

 chaient la surface des ondes aux points d'une même ligne de courbure, il 

 résulte du théorème précédent que leurs points de contact seraient tous à 

 la même distance du centre; mais la distance du centre de la surface des 

 ondes au point dé contact de l'un de ses plans tangents est inversement 

 proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre de l'ellipsoïde E' 



