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CORRESPOIND ANGE . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions X„ de Legendre; 

 par M. E. Rouché. 



o 1 . Dans le Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, le 

 21 juin 1 858, j'indiquais en terminant une méthode générale de recherche 

 des propriétés des fonctions que Legendre a désignées par X„. A l'afde de 

 cette méthode, j'ai trouvé pour ces fonctions une forme élégante et nouvelle 

 qu'on peut d'ailleurs démontrer directement de plusieurs manières. 



» Afin de suivre une marche tout analytique et de procéder de la façon 

 la plus naturelle, en allant pour ainsi dire à la découverte, j'établirai un 

 lemme préliminaire. 



» 2. Toute fonction de x,Y„, entière, rationnelle et du degré n, qui satisfait, 

 pour toutes les valeurs de k entières et inférieures an, à la relation 



(-) 



x: 



x''Y„djc=^ o. 



ne diffère de X„ que par un facteur constant. 

 » En effet, soit 



k=p 



j = B^x^ + B^_, JT/-' -f- . . . + B, j: 4- Bo = 2 ^"•^^ 



k = o 



un polynôme entier quelconque et de degré inférieur à «, on aura 



-H! *~'' 



k=:0 



Dès lors et en vertu d'un raisonnement connu (Journal de M. Liouville, 

 tome II, page 137), si l'on prend, pour fixer les idées, « = 3, et que l'on 

 pose 



/^^ px ^x 



\ dx \ dx \ VgC/x = 9(j:), 



on aura, en intégrant par parties et désign*ant par^ un polynôme quel- 

 conque du second degré, 



ia2.. 



