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 ALGÈBRE. — Note sui\une fonction homorjène entière; par M. E. Catalan. 



« Plusieurs géomètres, parmi lesquels il suffit de citer MM. Cauchy, 

 Bertrand et Serret, ont indiqué divers procédés qui permettent d'évaluer 

 la fonction 



TÏ^)'^T~îb)'^"'^7V) 



au moyen des coefficients de l'équation y (j:) = o, dont a, è, c,..., k, /, 

 sont les n racines (supposées inégaies); mais personne, que je sache, n'a 

 fait attention à l'identité de cette fonction symétrique fractionnaire avec la 

 fonction homogène et entière, du degré p. 



Cette identité résulte de la proposition suivante : 



» Théobkme. Soient a, b^ c,..., k, l des quantités quelconques, inégales, 

 en nombre n; et soit, pour abréger, 



f{x) = {x -a){x- b). ..{x — k) {ce - l). 



La fonction entière et homogène des n lettres «, b, c,..., Ar, Z, dont p est 



le degré, est égale à la somme des valeurs que prend la fraction -, . quand 



j remplace x par a, b, c,..., k^ l. En d'autres termes, 



les exposants a, /S, 7,..., X, entiers et non négatifs, étant déterminés par l'é- 

 quation 



a + ]3 + 7 +. ..+ X = ^. 



» Pour démontrer l'équation (i), qui devient identique si n égale 1 ou 2, 

 il suffit de faire attention que 



"■n,p—^ H.„_,_p+ lli-n—\,p~\ + l H/i-i ,p-2 ~l~ • ••+ t '^n—t,Oi 



et d'avoir égard aux relations connues : 



_ a"-' è"-' /"-' 



"■" ~ y>) "^7T&") "^ ■ ■ ■ "^/ÔÔ - ' ' 



H-i-l Jn-2 /n-a 



O. 



f'{a) ^f'[b)^--- ' fil) 



