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Note sur l'intégration des équations aux différences partielles 

 \ du premier ordre à un nombre quelconque de variables} 



par M. Augustin L. Cauchy. 



SfAiHEMATK^uE», Jusqu'a prëseot il n'est aucun traite de calcul différentiel et inté- 

 gral, où l'on ait donné les moyens d'intégrer complètement les équations 

 aux différences partielles du pi-emier ardre, quel que soit le nombre 

 des variables indépendantes. M étant occupé il y a plusieurs mois de 

 cet objet, je fus assez heureux pour obtenir une méthode générale 

 propre à remplir le but désiré. Mais, après avoir terminé mon travnil, 

 j'ai appris que M. Pfaff, géomètre allemand, était parvenu de son ( ôlé 

 aux intégrales des équations ci-dessus mentionnées. Comme il s'agit 

 ici d'une des questions les plus importantes du calcul intégral, et que 

 la méthode de M. Plaff' est différente de la mienne, je f)ense que les 

 géomètres ne verront pas sans intérêt une analyse abrégée de l'une et 

 de l'autre. Je vais d'abord exposer la méthode dont je me suis servi, 

 en profitant, pour simplifier l'exposition, de quelques remarques Faites 

 par M. Coriolis, ingénieur des ponts et chaussées, et de quelques 

 autres qui me sont depuis peu venues à Tesprit. 



Supposons, en premier Heu, qu'il s'agisse d'intégrer une équation 

 aux différences partielles du premier ordre à deux variables indépen- 

 dantes. On a déjà pour une intégration de cette espèce plusieurs 

 méthodes différentes, dont l'une C celle de M. Ampère) est fondée sur 

 le changement d'une seule variable indépendante. La mélhode q'ie je 

 propose, appuyée sur le même principe dans l'hypothèse admise, se 

 réduit alors à ce qui suit. 

 Soit 



(i) fi^, r> u, p,q)^o 



l'équation donnée, dans laquelle x et y désignent les deux variables 

 indépendantes, u la fonction inconnue de ces deux variables, et ^, q 

 les dérivées partielles de u relatives aux variables x et/-. Pour que 

 l'on puisse déterminer complètement la fonction cherchée u, il ne 

 suffira pas de savoir qu'elle doit vérifier l'équation (ij; il sera de plus 

 nécessaire qu'elle soit assujettie à une autre condition, par exemple, 

 à obtenir une certaine valeur particulière fonction de y^ pour une 

 valeur donnée de la variable x. Supposons en conséquence que la 

 fonction M doive recevoir, pour a; = j"„, la valeur particulière <p {y)' 

 la fonction q, ou la dérivée partielle de u relativement k y , recevra 

 dans cette hypothèse la valeur particulière <p' (y). Dans la même hy- 

 pothèse, la valeur générale de u sera, comme l'on sait, complelte- 

 ment déterminée. Il s'agit maintenant de ealculer celte valeur; on y 

 parviendra de la mauière suivante» 



