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Remplaçons jy par une fonction de x, et d'une nouVelle variable I0I9. 



indépendante j,,. Les quantités u,p, q, qui étaient fonctions de :i;etj-, 

 deviendront elles-mêmes fonctions de x et de^,; et l'on aura, en 

 difl'érentiant dans cette supposition , 



^5^ du __ay 



dy ' dy^ 



Si l'on retranche l'une de l'autre les deux équations précédentes, après 

 avoir différentié la première par rapport à j» , et la seconde par 

 rapport à x, on en conclura 



^^^ dyo dx' dy, dx' dy^' 



Si, de plus, on désigne par 



■^dx + Xdy + \J du -^-Vdp +qdq 

 la diflFérentielle totale du premier membre de l'équation (i), on 

 trouvera, en différentiant cette équation par rapport à j„, 



et par suite, en ayant égard aux équations (3) et (4;, 



(6) (Y + ,u + P^)^ + (Q-P^)i;^ = o. 



Observons maintenant que , la valeur de y en fonction de x et de y^ 

 étant tout-à-fait arbitraire, on peut en disposer de manière à ce qu'elle 

 vérifie l'équation différentielle 



(7) 0-pgr = o, 



et qu'elle se réduise à j,, dans la supposition particulière x = x,. 

 Ia valeur de j- en x et j, étant choisie comme on vient de le dire, 

 les valeurs particulières de ji et de ^ correspondantes à x = j-,, savoir, 

 q, (j-) et ?>' (/) deviendront respectivement <p (j„) et <p' (y„). Représen- 

 tons ces mêmes valeurs par u^, q^. On aura 



Quant à la formule (6), elle se trouvera réduite par l'équati'on (7) à 

 et comme, j renfermant ^, par hypothèse,-^ ne peut -être cons- 



