tamment nul , la même formule deviendra 



(9) .Y+9U + P-^ = o. 



Cela posé, rinfégntion de l'équation (i) se trouvera ramenée à Ta 

 q'.'eslion suivante : Trouver pour y, u, p, q quatre fond ion.'^ de x et 

 de y„ . qui soient propres à vérifier les équations (ij-(),'^3),(7),(9), 

 et dont trois, savoir y , ii, q, ^e^ réduisent respectivement à y,, u,, q,, 

 dans la supposition x = x^. 



Nous ne parlons pas de l'équation (4), parce qu'elle est une suite 

 né'^essaire des équations (2) tt (5). Quant à la valeur particulière de p 

 corresjjon Jante à t = .r. , elle n'entrera pas <!ans les valeurs o;pnérales 

 de y, u, p, q déterminées par les couditious précédentes. Si on la 

 désigne par p,^ elle se déduira de la formule. 



(10) f{^., J., //., ;'., <7„) = o. 



Il est essentiel de remarquer que les valeurs générales de jy, ?/,/r, q 

 en fonction de x et de j-, resteront corapletiement déterminées ,si, parmi 

 les conditions auxquelles elles doivent satisfaire , on s'abstient de 

 compter la vérification de l'équafion (5). Cette dernière condition dok 

 donc être uue conséquence immédiate de toutes les autres. Pour le 

 démontrer, supposons un instant que, les autres étant vérifiées, les 

 deux membres de l'équation (5) soient inégaux. La différence entre 

 ces deux membres ne pourra être qu'une fonction de x et dej',. Soit 

 « cette fonction, et «s ce qu'elle devient pour x ■=■ x^. On aura 



(lO 



du dy 



du, dy, , . ^' i \ 



dUo ^ dy^ 

 On trouvera, par suite, au lieu des équatious (3) et (^), 



du dy 



( ^ j ^y^ dy, ' 



\^^) I dp dq dy dy dq dx 



dy, dx dy,' dx dy, dx 



puis, au lieu de l'équation (6^, la suivante : 



(.5) (Y + ,U+P^) ^ + (Q_p^)^ + u. + P^=o. 



Cette dernière sera réduite par les équations (7) et (9), que l'oa 

 suppose vérifiées, à _ / \ . 



04) V.^r^^o. 



