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on conclura définitivement que, pour déterminer les valeurs cherchées 

 des quantités y, u , p , q , il suffit de les assujettir à quatre des cinq 

 équations comprises dans les deux formules 



!f{x,jy, u, p, q) = o 

 dx dy du dp dq 



~P ~Q Pp+Q7""~ X+pU — ■" Y + çU » 



iit à recevoir, pour x = x„, les valeurs particulières j„, u„, p„, q^, 

 dont les trois dernières sont déterminées en fonction de la première 

 •par les équations (S) et (lo). 



Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'aide de l'équation 



f{x,j, u,p, q) — 

 on élimine p des trois équations comprises dans la formule 



. dx dy du dq 



(22) ~ - Pp+Q9"~"~ Y-I-7U* 



Kn intégrant ces trois dernières , on obtiendra trois équations finies qui 

 renfermeront, avec les quantités 



^, f, Uy q, 

 les valeurs particulières représentées par 



Si après l'intégration l'on élimine 9, les deux équations restantes ren- 

 fermeront seulement, avec les quantités variables x,j^y u et la quan- 

 tité constante x^, la nouvelle variable ^'^, dont l'élimination ue pourra 

 s'effectuer que lorsqu'on aura assigné une forme particulièreà la fonctioa 

 arbitraire désignée par <p. Quoi qu'il en soit, le système des deux équa- 

 tions dont il s'agit pourra toujours être considéré comme équivalent 

 à l'intégrale générale de l'équation (1). 



Comme, dans tout ce qui précède,, on peut substituer la variable x à 

 ia variable j', et réciproquement; il en résulte que les intégrales des 

 équations (21) fourniront encore la solution de la question proposée, si 

 l'on considère dans ces intégrales y^ comme constanle , x^ comme une 

 nouvelle variableque l'on doit éliminer, et u^, p,t q, comme des fonctions 

 de cette nouvelle variable déterminées par des équations de la forme 



(24) /(^., JTo «0, ;p., 9.) = o• 

 Appliquons les principes que nous venons d'établir à l'intégration de 

 î'équàtiôn aux différences partielles 



(25) pg <^ xy = o. 



