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On aura dans celte hypothèse 1 o 1 9. 



Pz=q,Q=p,lJ = o,X = —y, Y = — a:; 

 et par suite la seconde des formules (21) deviendra 



dx dy du dp __ dq 



f ~ f ~~ ipq ~ 9 » ' 



ou, si l'on réduit toutes les fractions au même dénominateur/?^ =^jy, 

 pour les supprimer ensuite, 



(26) pdx = qdj =^idu=: xdp =ydq. 

 On tire successivement de la formule précédente 



(,7) ^=^, £L=^,du=z-^.2a:dx=:-^.2jdy;. 

 puis, en intégrant, et ayant égard à l'équation de condition p^q„-=.x,y„, 



!u-u^ = ^^{x''^x:) = ^f(j^-j:) 

 y X 



Si Ton multiplie l'une par l'autre les deux valeurs de m — 11, que fournit 

 l'équation {29), 00 aura 



(3o) (« — v,y = (:r' — x^) (y^ - J»*)- 



En joignant celte dernière à l'équation (2g) mise sous la forme 



(5i) q.iu — uJzzzy^Cx' — xJ'), 



et remplaçant u, par <p(y„), q„ par®' (j„^; on trouvera, pour les 

 deux formules dont le système doit représenter l'intégrale générale 

 de l'équation (^5), 



Dans ces deux dernières formules x^ désigne une constante choisie à 

 volonté, et nunejiQUvelle variable qu'on ne peut éliminer qu'après 

 avoir fixé la valeur de la fonction arbitraire <p. Il est bon de remarquer 

 que la seconde des équations (Sa) n'est autre chose que la dérivée de 

 la première relativement à la variable j,. 



Si l'on réunit l'équation f3o) à l'équation (29) mise sour la forme 



(53) A C" — "«) = ^» '-^' **>'•' ) ' 



que l'on considère j, comme constante, ^c^cpœme variable, puis, que 



