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Mémoire sur t intégration de plusieurs équations linéaires aux ^' 



différences partielles, et particulièrement de F équation générale 

 du mouvement des fluides ; par M. PoiSSON. 



L'éQUATioN dont ou s'est principalement occupé dansée Mémoire, Mathématiques. 



est celle-ci : 



d' (p / rf' <P d'çi d^<!f\ ^ . AcaJ. des Sciences. 



dF =''' KT^ + ^ + 'd^)' ^'^ Jmiiet.819. 



dans laquelle a est un coefficient constant. C'est de la quantité <f>, 

 déterminée par cette équalion,que dépendent, comme on sait, les lois 

 des petits mouvements des fluides élastiques, lorsqu'on suppose cons- 

 tantes la densité naturelle et la température du fluide. Les essais qu'on 

 a tentés pour en trouver l'intégrale complète, en conservant Ips quatre 

 variables indépendantes /, x, j, z, ont conduit à des résultats si com- 

 pliqués , qu'il serait impossible d'en faire aucun usage. Cependant l'in- 

 tégrale à laquelle je suis parvenu est d'une forme très-simple 5 et voici, en 

 peu de mois, le procédé dont j'ai fait usage pour l'obtenir. En désignant 

 par U une fonction quelconque de x , y, z, nous ferons, pour abi'éger, 



et nous conviendrons de représenter par J'U, «J'U, J*U, etc., ceque 

 devient Ï\J lorsqu'on y met J^U, i^'U, ^'U, etc., à la place de \J ; 



en sorte qu'on ait généralement ,? U = <?. ^ U. Au moyen de cette 

 notation, l'intégrale complète de l'équation (i) en série ordonnée 

 suivant les puissances de /, sera 



, = U+^J^U+-^cr'U-|- -^,4- i^ u -h etc. 



2 2. 3. 4 2. j. 4. 5. 6 



u et V étant les deux fonctions arbitraires. La première partie se 

 déduit de la seconde, en la diflérentiant par rapport k t, et y mettant 

 U à la place de V3 si donc nous faisons 



T = /V-[-î^crV+ -4^ J^' V + etc., 



2. i> 2. a. 4. 5 



il nous suffira de chercher l'expression de cette quantité T sous forme 

 finie, par le moyen des intégrales définies. 



D'après les analogies connues entre les puissances elles différences, 

 nous aurons 



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