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■ Dans son premier Mémoire sur la théorie du son, et, depuis, dans MAïauMATigtEs. 

 Ja Mécanique analytique, Lagrange donna des formules remarquables, 

 soit pour interpoler ou pour exprimer une l'onction quelconque, par des 

 séries do quantités périodiques. M. Poisson éiablit des formules analo- 

 gues, dans son Mémoire sur les ondes; et leur démonstration omise dan» 

 l'extrait inséré dans le Jb'ullc-lin du inok d'août 181 5, a paru en 18 18 

 dans \c& Mémoires de l' Académie des sciences pour 181G. De son côté, 

 M. Caucliy employa des formules semblables, dans ses recheri-hes sur 

 le même problème, couronnées par l'Institut en iSi6,etcn déduisit les 

 propriétés des fondions qu'il nomme réciproques 1 1), M. Fourrier avait 

 •aussi donné dos théorèmes du même genre dans ses Mémoires sur la 

 chaleur, présentésà l'institut en 1807 et 1811 , et dont il a paru un extrait 

 dans les Annales de physique et de chimie de décembre i8i6. 



Ces Ibrmules sont surtout utiles pour transformer les intégrales des 

 équations linéaires aux différences et aux différentielles partielles, ainsi 

 qu'aux différences mêlées, de manière à assujettir ces intégrales générale^ 

 à représenter les valeurs initiales des fonctions que ces équations déter- 

 minent, et à particulariser ainsi les fonctions arbitraires. Elles servent 

 aussi a représenter des fonctions pour telle étendue qu'on veut de leur ' 

 variable, ce qui est très-important dans les problèmes de mécanique 

 appliquée à la physique, oii il faut que les intégrales n'aient lieu que 

 pour l'étendue du système sur lequel agissent les forces. L'utilité de ces 

 formules se trouveampiement prouvée par les diversesapplications citées 

 plus haut, et parcelles que M. Poisson en a faites dans un Mémoire 

 inséré dans le ûi)i.-\\m\\eiwiCa\i\eT an Journal de l'Ecole Polytechnique, 

 où il en a en mêmc-lem[)S exposé la théorie. La lecture de ce Mémoire 

 m'a suggéré les remarques suivantes; elles ont pour but de démontrer 

 .direclement ces formules, qui ne l'ont été jusqu'ici que comme limites 

 d'expressions du même genre. 



Je considère d'abord les intégrales f/xsin. axdxQi ffx co?>. axdx, 

 et j'établis sur la valeur de ces intégrales, dans le cas de a infini, ou 

 pour parler plus rigoureusement, sur leurs limites relatives à l'accrois- 

 sement indéfini de a, un théorème général tlont l'application à divers 

 exemples me donne plusieurs formules remarquables déjà connues, mais 

 obtenues ainsi par des considérations dillérentes. Je trouve aussi la va- 



( I ) BuUctins lies mois d'août 1817 oi Jccewbre 1818. 

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