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 leur des intégrales définies / s'"g» ^y / «"'•«■g j^_^ pour le cas de a infini 



,/ sin. X ,J X 

 «t entre diverses limites de x; et c'est comme application immédiate de 

 ces résultats, que se présentent les formules citées plus haut. 



II est remarquable que les expressions siu. axci ces, ax, qui devien- 

 nent indéterminées quand a est infini, ne rendant pas telles les inté- 

 grales ffx sin. axdx et ffx cos. axdx. En effet, l'intégration par par- 

 ties les chanoie en — — fx ces. ax A f f'Jc cos. axdx et — fxm\. ax 



.— —ffx sin. axdx, résultats que la supposition de a infini rend 



a 

 nuls ûj~^ reste finie aux limites de l'intégration, e[ J'x pour toute 

 l'étendue de ces limites. Si y a: devenait infinie pour certaines valeurs 

 intermédiaires A, h', les intégrales proposées se réduiraient aux seuls 

 élémens /i sin. abdx, fb cos. ahdx qui sont infiniment petits, siy^t: 

 reste finie ; et même/.r pourrait être infinie, sans que ces portions d'in- 

 tégrales le fussent, car alors l'intégrale définie n'a plus de rapport avec la 

 valeu r des élémens. Pour vérifier ces résultats, évaluons les intégrales dans 

 l'intervalle h — & à Z> + /3, /3 étant très-petit , et prenons la limite relative au 



décroisseraentde/3;posant:r=Z> + «et/(Z) + M) = ^4 + 5« +Cu +. , 



\\y\cn{ ffx s\n. axdx z=. A f s\n a(b + u)du + B fii sni.afb + u)du... 

 S\/'x est seule infinie, les exposans K, K' sont positifs et K<:^i, le pre- 

 mier terme est nul, et les suivans «ont numériquement plus pelits que le 



double des intégrales fu du,fu du... prises de z/ = o a // = /3 ou que 



^ , Iz , expressions dont la limite est nulle. Si_/r est infinie, 



~K+T' Jt' + i ' , . . ,., 



quelques-uns des exposans K, K' seront négatifs, mais s ils sont moin- 

 dres que l'unité, suivant une remarque de M. Poisson, le théorème des 

 intéo-rales définies a toujoui's lieu , et les divers termes pourront encore 



se compyrer à fu du = ^ qui donne o pour limite, l'exposant 



i—K ' 

 étant positif: ffxco%. axdx confluirait au même résultat. Ainsi la li- 

 mite des intégrales ffx sin. axdx et ffx cos. axdx, relative à l'ac- 

 croissement indéfini (\ca, est nulle tant que/r reste finie entre les limites 

 de l'intégration, ou que devenant infinie pour certaines valeurs de x, 

 son développement, à partir de ces valeurs, contient des exposans né- 

 gatifs moindres que i. 



Ces considérations appliquées à l'intégrale 1 "'f'-^ dx , font voir 



