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qu'elle est nulle pour toutes les limites qui ne comprennent pas les va- 1819. 



leurs o, T, 2T. . . — S-... qui seules rendent le mulli|)lica(eur de sin. a.r 

 infini , et h parîii- desquelles son développement comprend l'exposant — i. 

 Cherchons sa valeur pou r les limites —x' et + x", x ' et x'[ étant moindres 

 quoT, et supposons d'aljord (pie <i soit un nombre entier quelconque; 

 ou déduit tai-ilement des équations connues ay/— i sin. /x = (cos. x 



+ v/ITi sin..r/ — (cos. .T — v^irisin.j:)*et 2 v^zr,sin. a:= (cos. j: + 



i/^r[ sin. .t) — (cos. :c — »/-:iT sin. a:), -T-^ = cos. (f — 1) X + cos. («■ — 3) .t 



4- cos. r— i + 5) X + COS. (— / + 1) j:; et , suivant que i sera de la 



sin. (at+i)x „ • , , *'"• ^** 



forme 21 + 1 ou 21 , on aura . =22- cos. 21 x + 1 , et .--- 



' sin. X S"*' X 



= 3 S COS. ( 21 — 1 )x, le signe ^ s'étendant de /= i à/= la valeur 



entière qu'on lui assigne dans le premier membre : multipliant par dx 



cl intégrant , il vient /i'"_(^i±J^ dx = 2l ±l^'If +x + cel p}^l^dx 

 ° J sin. X a» ,/ sin. X 



^^■2 'Z^l^lS'^lH^l — V- c' . S\ X reste compris entre o et t, t et 2t. . . et 

 3» — I 



sin. ata 



at 



qu'on fasse i infini, les premiers membres sont nuls , et on a 2S 



+ x+ c = o, et 22 —^'4^1^ + c' =0, le signe 2 s'étendant de 



â X ~~" 1 



ÎT . TT 11 1 



t= I à i:=oo. Faisant .r=—, il vient, à cause de— = i — -5- + "^ T" • •' 



a cf y 



JT „ , T „ sin. 2 IX , r sin. (a» — i)x ^1 



c=zc' = ,doù x = 2l. ;— et — = 22 — ^-. -^. Chaa- 



'' a a a t a at— 1 



eeant :c en — x dans la première équation , on aura les formules connues, 



• 1 I . ». I 



_f3- — a:") = sin.x -\ sin. 2x + — sin. 5 x , . . , et — = sin. x ■+- — 



a ^ ^ 3.0 4 •* 



sin. 3 a; H sin. 5x • • ■ '• •^ varie dans la première de o à 2 t, si l'on y 



change .r en ff — x', elle donne— x' = sin. x' sin.ax' + ysin.3x'..., 



formule également connue, où x' peut varier de o à + t et de o à — t; 

 elle est vraie pour x' = o , mais non pour x' = t. 

 Cela posé, on aura entre les limites — x' et + x" 



/^Hliiitjlf ^x= 3 2 *'"-^'''^" + x" + 2 2 ^j±Jti£.+ x',el/^^dx 

 tia. se ai a* •>' sin. x 



^sin. (a* — i)x'' _ sin. (ai — «)x'_ 



at — I »»■ 



