BULLETIN DES SCIENCES, 



PAR 



LA SOCIÉTÉ PHILOMATIQUE 



DE PARIS. 



Sur les racines imaginaires des équations } par A. L. Cauchy. 



Je me suis proposé d'ëtablir, par une démonstration directe et simple, MiTHEMATiqrii. 

 la proposition qui sert de base à la théorie des racmes unagmaires, et ^^^j^mie Royale dei 

 qu'on peut énoncer comme il suit : Sciences. 



Théorème Jer. Si l'équation ,3 décembre i8i6. 



CO x" ■\- a x~^ + a x" + +0 x+a 



n — I n 



na pas de racine réeUe, on pourra toujours y satisfaire en prenant pour 

 X une expression de la forme, 



(2) j; = r(cos. (piv/^^n'sln. (p5 



ou, en d! autres termes, on pourra trouver pour r et <p un système de 

 valeurs réelles qui vérifient en même temps les deux équations 



ir"cos.n(p + a r'"~\os.(n— i)(p -]- +a rcos.<p+a=o 

 r°sin.77(p-}-û! r° %in.(«— i)(p + + a^_^ r s'\n.<p =0. 



La démonstration de ce théorème est fondée sur les deux lemmes 

 suivants : - 



Lerame I^r, Soit f (y) = o une équation dont y = b représente 

 une racine réelle, mais' qui ait une seule racine égale à b, on pourra 

 toujours attribuer à C une valeur assez petite, pour que, v étant égal ou 

 inférieur à &, l'une des deux fonctions f( b + v), f(L> — v ) soit cons- 

 tamment positive , et l'autre constamment négative. 



En effet, puisque/(A) = o, si l'on développe /( idrv) suivant les 

 puissances ascendantes de v, on aura une équation de la torme 



(4) f(jbdtv)^àzBv +C v±\}v-^ ... ==tBi'(irt:gZ'+ ...) 



B n'étant pas nul , attendu qu'on suppose une seule racine égale à b. Or, v 

 venant à décroître, le signe du second membre de l'équation (4) finira 

 par dépendre uniquement du signe de son premier terme zh Bv; et par 



Lii^raison de jamner. 2 



