suite les signes des deuxfoiictionsy(Z) + i')^yï^ — ^) finiront par être 

 resi)ectivemcnt égaux à ceux des quantités + B r, — B v. Donc , etc. 



Lemme U^. i' / f"( x, y } = o désigne une fonction rationnelle et entière 

 d^x et d'y, et que pour une certaine valeur de x l'équation l'(x, y) = o 

 résolue' par rapport à y Journissc plusieurs racines réelles inégales j 

 X venant à croître ou à dccroître par degrés insensibles , les racines 

 réelles de l'équation varieront elles-mêmes par degrés insensibles, sans 

 qu'aucune d'elles puisse disparaître , à moins que préalablement l'équa- 

 tion n'acquierre des racines égales. 



En effet supposons que, pour ji: = a, l'équation /"(j:, y) =o admette 

 plusieurs racines réelles inégales dont l'une soit j = Z). Ou pourra 

 (lemme premier) assigner à € une valeur assez petite, pour que, 2' étant 

 égal ou intérieur à € sans être nul , l'une des deux quantitésy(j, b + r) 

 f{a, b—v ) soit constamment positive et l'autre constamment négative. 

 De plus, i' ayant une semblable valeur, on pourra toujours attribuer à 

 a une autre valeur assez petite, pour que, 11 étant égal ou interieurà a, 

 les trois quantités 



fXa — u,b + v), /(a,b + v), f(a + u,b—v) 



soient de môme signe, et qu'il en soit encore de môme des trois suivantes 

 J{a — u,h — v), J(a,b—v), f{a + u,b — v). 



Cela posé, il est clair 1". quef(a — u,b + v)eAf(a—u, b — v) seront 

 de signes contraires: 2°. quey'( a -f //, b-\-v) ci/ (a + u, b — v) seront 

 également de signes contraires; d'où il suit que, u étant égal ou inlerieur 

 à a, chacune des équations 



/(« — «.j) = o, fCa+u,j) = o, 



ro'solue par rapport à y, fournira une racine réelle comprise entre les 

 limites j' = '^ — v. , j=b+i'. A'msi, i» ayant une valeur très-petite, pourvu 

 (ju'elle soit inlérieure à C, on peut assigner à a. une valeur telle que , a: 

 venant à croître depuis fl jusqu'à a + a., ou à décroilrc depuis a jusqu'à 

 a— a., l'équation /(j:-,j')=o, résolue par rapport àjr'^onserye toujours 

 une racine réelle comprise entre les limites /; — 1; A + j^, c'est-à-dire, 

 une racine (jui ne diti'ère pas sensiblenient de b; ce qui suiKt pour 

 établir le lemme énoncé. 



Comme on n'altère pas la forme de réquationy'(.r,j») =0, en y chan- 



ircaut xen —, on doit en conclure (lUs le lenune 2 subsiste dans le 



cas même OÙ la valeur de .t représentée {jar a devient infinie; et l'on 



peut assurer que , si pour ~ =0 , ou x =oc , l'équation / ( x, j) =^ o réso- 



lue par rapT)ort à j fournit plusii-urs racines réelles et inégales, lamême 



