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 ëqiiation pour de hrs-pelites valeurs de — ioférieiires à une cerlaine li- 

 mite a, ou , ce qui revient au milnie , pour de très-grandes valeurs de .r su- 

 périeures à la limite —, admeUra autant de racines réelles fort peu dif- 

 férentes des })remières. 



Lorsque l'équalion /Y x,j) = o est du degré /? par srappprt àj', elle ne 

 sauroit admettre n racines réelles difi'érentes de valeurs ^ que dans le cas 

 on elle n'a pas de racines égales. Si donc, pour .ï =<?, elle a en efîet n 

 racines réelles différentes ; et qu'en faisant varier .r par degrés insensibles, 

 on finisse par laii-c disparaître une ou plusieurs de ces racines; puisque 

 dans l'intervalle ces racines elles-mêmes varieront par degrés insen- 

 sibles, sans qu'aucune puisse disparaître avant que l'équation n'acquierre 

 des racines égales, il est clair que dans le même intervalle une certaine 

 valeur de .r aura déterminé une réduction dans le nombre des racines 

 réelles, en amenant l'égalité de deux ou de plusieurs d'enlr'ellcs. 



Venons maintenant à la démonstration du tliéorêrW premier. 



Démonstration. Si dans les équations (5) on fait c^cp = 5, elle pren- 

 dront la forme 



f f» (^'> s) = o, 



J \ r(i— 5«)Vn-i('-,5) = o, 



fa (/", s),fu—i (j; s), désignant deux Ibnctions rationnelles et entières do 

 r et de .5, l'une du degn'//, l'autre du degré n — i ; et il suffira évidemment 

 de prouver que, dans le cas où l'équation (i) n'a pas de racines réelles, 

 on peut satisfaire aux deux suivantes 



(6) ,j^"(%^) = "' 



par un même système de valeurs réelles de r et decp, ou , ce qui revient 

 au même de r el de s, 5 = cos.(p étant compris entre les limites dt i. Or, 

 la supposition 7-:== 00 réduit les équations (5; à celles-ci : 



^ ^ '^ \ sln. n (p = o. 



Ces dernières fournissent respectivement pour cos. ç =s, la première n 

 racines réelles inégales, savon*, 



(8) s = cos. — , .y = cos. — 5 = cos. , 5 = cos. ; 



^ 271 un 2 n 2 72 



cl la seconde n — i racines l'éelles pareillement inégale?, savoir. 



, T 27t (n — i)îr- 



(g) 5 = cos. — , 5 = cos. — s = COS. -—, 



n ■ n n 



indépendamment des deux valeurs corhprises dans la formule 



(10) 5 



I 



1817. 



J 



