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Sur ime loi de réclproché qui existe entre certaines fonctions ; 



par A. L. Cauchy. 



Nous avons dlabli, dans notre Mémoire sur la lliéoric des ondfs, Mathématique! 

 certaines formules que M. Poisson a c'ji,aleineiit obtenues de son 

 côté, et desquelles il résulte que, si deux fonctions respectivement 

 désignées par les caractéristiques /'et <p satisfont h l'équation 



l'intégrale étant prise entre les limites yu, = o, /^ = co , la même équa- 

 tion subsistera encore, lorsqu'on y remplacera la fon.ction y car la 

 fonction 9 et la fonction ,p par la fonction/ De môme, si l'on désigne 

 par y et -^ deux fonctions qui vérifient l'équation 



cette équation subsistera encore après l'échange de la fonctiony contre 

 la fonction 4^, et de la fonction 4 contre la fonction y: On voit donc 

 ici se manifester une loi de réciprocité, 1° entre les fractions y et <p 

 qui satisfont à l'équation (i); 2" entre les équationsy et 4 qui satislont 

 à l'équation (2). Nous désignerons pour cette raison les fonctionsy (r), 

 <p (x) sous le nom de fonctions réciproques de première espèce, et les 

 fonctions y (a), ^ (x) sous le nom de fonctions réciproques de seconde 

 espèce. Ces deux espèces de fonctions peuvent être employées avec 

 avantage pour la solution d'un grand nombre de problèmes, et jouissent 

 de propriétés remarquables que nous nous proposons ici de faire 

 connaître. 



D'abord, en difïérentiant plusieurs fois de suite par rapport a x 

 l'équation (1), on reconnaîtra facilement que, si 



/(x)et(p(x) 



sont deux fonctions réciproques de première espèce, 



/" (x) et — x^ ,p (x) 

 seront encore deux fonctions réciproques de première espèce , et 

 qu'il en sera de même des fonctions 



f" (x) et X' 9 (:r), 



/^^ (x) et - x' <? (x) 

 etc. 

 Au contraire, 



y (x) et X (f (x), 



f" ix) et — ;c' «> {x) 

 etc. 

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