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seront des fondions réciproques de seconde espèce. On arriverait à 

 des conclusions analogues en dilït^rentiant plusieurs ibis de suite pac 

 rapport à .x les deux membres de l'équation (p). 

 On reconnaîtra avec la même facilité que , si 

 /(.t) et 9 C x) • ^ 



sont deux fonctions réciproques ds première espèce , la fonction 



9 (oc) cos. (A; a) 

 aura pour réciproque de première espèce 



toutes les fois que k sera plus grand que x, et 



-Af(k + x)+f(x-k)] 

 dans le cas contraire, tandis que la fonction 



ç (a) sin, k a: 

 aura pour réciproque de seconde espèce 



i[/(k-T)-f(k + x)] 



dans la première hypolhèçe , et 



i[J(x-k)-f(k+x)] 



dans la seconde. Les diverses propositions ci-dessus énoncées suppo- 

 sent les quantités k et x positives ; mais il est facile devoir les modifi- 

 cations qu'on devrait y apporter, six et k devenaient négatives. C*) 



Les principaux usages, auxquels on peut employer les fonctions ré- 

 ciproques, sont les suivants : 



i" Elles servent k la détermination des intégrales définies. Ainsi, jpar 

 exemple, comme on a entre les limites //.= o,/a = co , 



je ' ■" cos. (fx, x) d}x ■=. it:^, j 



I e~'''^ sin. (iJ^x) d f^ = ^^j-;;. -, 

 on en conclut que 



— r 0? 

 c 



a pour fonction réciproque de première espèce 



(*) On peut remarquer encore, que si / (.r) et x (t) sont deux fonctions réci- 

 proques (lo première ou de seconde espèce , k f {x) et k x (*') seront récjprotjues 

 (le jnênic espèce , X: étant une cunslanle prise à volonté. 



