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C'est le rinquième des phénomènes de ce i;erirn qui se sont nianilVslés 1 o l 7 



depuis trois ans. Quelques-uns des premiers furent plus remnrquables , 

 mais r,<iclat de celui-ci lut beaucoup diminué par la lumicre de la lune. 



Seconde JVote sur les racines imapnaires des e'tjitalioiis ; par 



A. L. (>ALCliV. 



Qu'il soit toujours possible de décomposer un polynôme en ^^AriiEMATiQUEs. 

 facteurs réels du premier et du second degré j ou, en d'autres termes, 

 que toute équation, dont le premier membre est unelouction ration- 

 nelle et entière de la variable x, puisse toujours être vériliée par des 

 valeurs réelles ou imaginaires de cette variable: c'est une proposi- 

 tion que l'on a déjà prouvée de plusieurs manières. MM. Lagraiige. 

 Laplace et Gauss ont employé diverses méibocics pour l'élablir ; et 

 j'en ai moi-même donné une démonstration l'ondée sur des coii'-ifi: - 

 rations analogues à celles dont M. < iauss a Jait usage. Quoi qu'il eu' 

 soit, dans cbacune des méliiodes que je viens de citer, on lait une 

 attention spéciale au degré de ['é(juaiion donnée, et quebiuelois métne 

 (m remonte de cette dernière à d'autres équations d'un flegré supé- 

 rieur. Ces considérations m'ayant paru étrangères à la question, j'ai 

 pensé que le tl>éorême dont il s'aj<il dépendait uniquement de la loi; me 

 des deux fonctions réelles que produit la subslituli(,)n d'iiiie valeur 

 imaginaire de la variable dans un polyt)ôme quelconque; et j'ai été 

 assez heureux, en suivant cette idée, pour arriver à une démonslra7 

 tion qui semble aussi directe et aussi simple qu'on puisse le désirer. 

 .7e vais ici l'exposer en peu de mois. 



Soit / Lx.) un polynôme (quelconque en ,r. Si l'on y substitue pour 

 X une valeur imaginaire u -\- v »/ — i , on aura 



(1) /(,, +;.»/_,) = p + Qv/_,, 



P et Q étant deux fonctions réelles de u et v. De plus, si l'on Cut 



(2) P + Q v/- I = R ( Cos T + V— I sin. T ) , 



R sera ce qu'on appelle le module de rex[)ression imaginaire 



P + Q »/- 1 3 



et sa valeur sera donnée par l'équalion 



(5) R'=P' + Q\ 



Cela posé , le théorème h démontrer , c'est que l'on pourra toujours 



satisfaire jjar des valeurs réelles de u et de v aux deux é([uatious 



P = o,Q = o; 

 ou, ce qui revient au même, à l'équation unique 



11 = 0. 

 Lifraison d'octobre. 21 



