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Jl importe donc de savoir quelles sont les diverses valeurs que peut 

 recevoir la fonction R, et comment cette fonction varie avec 11 et v. 

 On y parviendra, comme il suit. 



Supposons que les quantités u et v obtiennent à la fois les accrois- 

 sements h et k, et soient AP, AQ, AR, les accroissemens correspon- 

 dants de P, Q, R. Les équations (3) et (:) deviendront respectivement 

 (4) (R + AU)' = (P + AP)' + (Q+AQ)^ 



iP + A P + CQ + AQ) V- I =/( u + v\/-i +h+k\^—i) 

 ^{h^kV-^yj'An^vV- 1) +etc... 



/; , J\ efc désignant de nouvelles fonctions. Pour déduire de 



l'équa'tion (5) les valeurs de P + A P et de Q + A Q , il suffit do rame- 

 ner le second membre à la forme p -V q V— i- ^'<?st ce que l'on fciu 

 en substituant à/(w + v V — 1) sa valeur R (cos ï + i/— isiu.ï), 

 et posant en outre 



h -^-k y/ — I =p (cos 9 + y/— i sin. 9) 

 /; (« 4- 2^ v/- I ) = R^ (<•"«• T. + y/- I sin. TJ 

 y, (z/ + î- >/- I ) = Ra (cos. T, + V- I sin. T.) 

 etc. . . . 

 Après les réductions effecluées^ l'équation (".) deviendra 

 ( P + AP + (Q + AQ) V— I = R COS. T + R, p cos. ( T, + ô) 

 (6) ) + R, f COS. (T, 4- 2 9; + etc. 



[ + [R sin.T + R. p sin. (T. + 9) + R,p' sin. (T, + 29) +...] y/- i 

 et l'on en conclura 



f P + A P =Rcos.T +R.P COS. (T, + 9; + R,p' cos. (T,+ 2 9) +... 

 ^7) \ Q + AQ = Rsin.T + R.p sin. (T,+ 9) + R,p^ sin. (T,;+ 2 9, +,.. 

 [(R + AR/=[Rcos.T+ R.pcos.(T, + 9, + R,p'cos.CT, + 2 9) +...]^ 

 + [Rsin.T + R,psin. (T. + fi)+ R,p\sin.^T, + 29, + ...r 



Supposons maintenant que, pour certaines valeurs attribuées aux va- 

 riables u et V, l'équatiou * 



R=o 



ne soit pas satisfaite. Si dans cette hypothèse R , n'est pas nul , le 

 second membre de l'équation (S) ordonné suivant les puissances asceu~ 

 dantes de p deviendra 



R' + 2RR, pcos(T. — T + 9) + etc....> 

 et par suite la quantité 



(R+AR)' — R', 



(«) [' 



