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ou, l'accroissement de R* ordonné suivant les puissances asccudaotes lui/, 



de p aura pour premier terme 



2 R R . p cos (T . — T + 6). 

 Si dans la môme hypothèse R, était nul, sans que R, le fut, l'ac- 

 croissement de R ' aurait pour premier terme 



2RR3P'cos(T, — T+ 26I), 

 etc.... Enfin ce premier terme deviendrait 



2RR„p''cos(T" — T + n9), 



si pour les valeurs données de u et y toutes les quantités R , R» . . . . 

 s'évanouissaient jusqu'à R „_, inclusivement. D'ailleurs, si l'on attri- 

 bue à p des valeurs posilives très-petites, et à â des valeurs quelcon- 

 ques, ou, ce qui revient au même, si l'on attribue aux quantités h et 

 k des valeurs numériques très-pelitesj l'accroissement de R ' , savoir, 

 ( R -j- A R ) ' — R ' , sera de même signé que sou premier terme repré- 

 senté généralement par le produit 



(9} 2RR„p"cos. (T„-T + 77Ô) : 



€t , comme la valeur de 9 étant arbitraire , on peut en disposer de 

 inanîère à rendre cos. (Tn — T + nS), c'est-à-dirfe, le dernier facteur 

 du produit (9), et par suite le produit lui-même, ou positif ou négatif j 

 il en résulte que, dans le cas où des valeurs particulières attribuées 

 aux variables // et v ne vérifient pas l'équation R = o, la valeur corres- 

 pondante de R" ne peut être ni un maximum, ni un minimum. Donc^ 

 si l'on peut s'assurer à priori que R' admet une valeur minimum, on 

 devra en conclure que cette valeur est nulle, et qu'il est possible 

 <le satisfaire à l'équation R = o. 



Or R ' admettra évidemment un minimum correspondant à des 

 valeurs finies de « et de v, si, pour de très-grandes valeurs numéri- 

 ques de ces mêmes variables, R ' finit par devenir supérieure à toute 

 quantité donnée. D'ailleurs, si l'on fait 



u + V \/ — I = r (cos. z -j- \/ — I sin. z); 

 à de très -grandes valeurs numériques de u et v correspondront de 

 très-grandes valeurs de r, et réciproquement. Donc, pour que l'on puisse 

 .satisfaire h l'équation R==o par des valeurs réelles et finies des va- 

 riables u et V, il est nécessaire et il suffit que la quantité R* déter- 

 minée par les équations 



J R' == P' + Q' 

 v '"'' \ P + Q ^/_ 1 =/[>-(côs. z ■+ V— I sin. z)] 



finisse par devenir constamment, pour de très-grandes valeurs de r, 

 supérieure à tout nombre donné. 



la conclusion précédente subsiste également, que la fonction /"('.r) 

 soit entière ou non. Elle exige seulement que V et O soient des 



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