rintégrale complète d'une équation aux cli{rërences''particlles de l'ordre i 'ô i y. 



quelconque ti , pouvait élre quelquefois moindre que n ; j'ai aussi 



montre que si l'on développe cetle inté^^rale suivant les puis<-,anees de 



l'une des variables, ce nombre sera difiérent selon la variable que l'on 



aura rbnisie ; maintenant j'ajouterai, pour compléter ces remarques, 



que l'on peut choisir la variable de manière que le développement de 



l'infét!,ralp ne contienne plus aucune fonction arbitraire, et qu'il ne 



s'v trouve que des constantes arbitraires en nombre infini. L'exemple 



suivant suffira pour le prouver. 



Prenons, comme dans le Mémoire cité^ l'équation 

 dz d'z , . 



<7 ~ ^"^^ ' ^'^ 



et supposons qu'on veuille développer son intégrale suivant les puis- 



sances de l'exponentielle e , dont la base est celle des logarithmes 

 népériens. Soit pour cela 



e = t; 

 l'équation ( i ) devient 



dz d'z , ^ 



Or, quelle que soit la valeur de z en fonctioe de ^ et de x qui satisfait 

 à cetle équation , on peut toujours la concevoir développée suivant 

 les puissances de t, et la rej)résenter par la série 



z = X r + X' r' + X" r" + etc., 



dans lesquelles les coefficienset les exposans sont indéterminés. Substi- 

 tuons-la donc clans les deux membres de l'équation (2) ; égalant 

 ensuite de part et d'autre les termes semblables, on trouve que tous 

 les exposans restent des constantes arbitraires, et que les coelïiciens 

 se déterminent en fonctions de a:, indépendamment les uus des autres 

 et par des équations de cette forme : 



- — = 772 X. . 



En intégrant, on a 



X = A£' -\- Be ; 



A et B étant deux constantes arbitraires, les expressions de tous les 

 autres coefHciens seraient semblables; par conséquent on aura pour 

 l'intégrale complète de l'équation (2) , développée suivant les puis- 

 sances de / , 



_ m X 1//» m — X \/nt 



z=^ A t e ^ +2B^^ ; 



les caractéristiques 2 désignant des sommes qui s'étendent à toutes les 

 valeurs possibles, réelles ou imaginaires de'A, B et w; et Fou peut 



