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remarquer que si l'on met ??/' k la place de ni) les deux sommes se 

 réduiront à une seule, savoir: 



z =zz, At e 



Cette expression ne renferme explicitement aucune fonction arbi- 



traire ; en y l'emettant e à la place de t, nous aurons de même 



pour rint(jgrale complète de l'équation (i) sans fonction arbitraire. 

 Ainsi cette intégrale développée suivant les puissances de y ne ren- 

 ferme qu'une seule fonction arbitraire 3 suivant les puissances de x, 



elle en contient deux; et suivant les puissances de e ou de e , elle 

 n'en renferme plus aucune. Au moyen des intégrales définies, on par- 

 vient à sommer ces diverses séries, et l'on obtient toujours la même 

 intégrale sous forme finie, contenant une seule fonction arbitraire. C'est 

 ce que M. Laplace a fait voir relativement aux deux premiers dévelop- 

 pemens. ( *) Quant à la série (3) , on a , d'après une formule connue , 



l'intégrale éfant prise depuis « = jusqu'à a = + — , et -rr dési- 

 gnant le rapport de la circonférence au diamètre 3 cette série deviendra 

 donc 



or, si l'on fait 



2 A e =(px, 

 Ç X sera une fonction arbitraire de x, et l'on aura de même 



m- 



e 



_ . m ix 4- 2.0. l/r) / , / V 



d'où l'on conclut 



X ^ -^ / t,~ " ^ (x 4- 2 a ï/j ) i/ et; 



ce qui est elïectivement , sous forme finie , l'intégrale complète de 

 l'équation (j). 



En général^ les équations aux dilîérences partielles, linéaires et à 

 coefficiens conslans, peuvent être satisfaites par des intégrales com- 

 posées d'une infinité d'exponentielles; jusqu'ici l'on n'a pas fixé, d'une 

 manière satisfaisante, le degré de généralité de ces sortes d'expres- 



{*) Journal de l'École poljteclinique, i5' caliier, page 218. 



