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verra sans peine, à tel nombre qu'on voudra de variables indépen- 

 dantes ; m.'iis pour simplifier, nous considérerons seulement les inté- 

 grales doubles. 



Soil rialcVrale//Yrt'^ dj, dans laquelle V est une fonction don- 

 née de.r, r? z, et des différences parliclles de z, relatives à a: et à y. 

 Pour abréger, nous indiquerons les différences relatives à jc par des 

 traits supérieurs , et celles qui se rapportent kj , par des traits infé- 

 rieurs ; de sorte qu'on ait 



dz __ , dz _ t±= ." ^'^ =, 2! etc 



dx~^'> dy^ '' dx^ ^ ' dxdy '' 



Nous aurons d'abord, en prenant les variations de la manière la plus 

 générale , 



^ []y dx dy = (Ts^ (V dx dy) = ff<^ V dxdy -^ ff^' ^ i^x dj), 



1816. 



J'z 



.^^ dy . dV j, dY . dY dY 



dx dy -^ dz dz a^i 



d'Y ,^ .. , ^ 

 + -j-^. ^z + etc.; 

 d z 



ce qui montre que la question se réduit à trouver la variation d'une diffé- 

 rence de z, d'un ordre quelconque, et ensuite celle du produit dx dy. 

 Pour y parvenir, remplaçons pour un moment x et/ par deux 

 nouvelles variables u etv; nous aurons 



Or en prenant les variations de ces quantités, et considérant Ips, 

 accroissemens de x ^ y ^ z, comme des fonctions de u et v , on aura, 

 par rapport à z', 



, _ V fdx dj^ dx dy-\ /dy de z dz_ d^y __ djr_ d^z 



° ^ — L V^ ^ ~" ^ lui) KjTv du "f" du d V du dv 



'y dè-x dx d^y dy d ê^x 



du ~^ du dv du d V 



dz (/«J'.y^v fdz dy dz d y\ / dy 



d V du J \d u d V d v du J \dv 



dx d^y \ "I / d X dy dx d y'\^ , 



"^ dv du J \ ' K'i u d V d v du) ' 



