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 et si maintenant on suppose u = x, v=j , ce qui est le moyen le plus 

 'simple de revenir aux anciennes variables , on a 



dx dx dy dy_ d^ „' ^ - 



517 = ^' ^ — ^' ^/* ~ ^' dv —^' du — ""> dv — '■''> 



ce qui réduit la valeur de cTz' à 



" d X dx ' d X 



On trouvera de même 



_ ^^'^ __ >' '^^'^ __ iî£ 



' dy dy ' dy 



On parviendrait au même résultat, sans faire u^=x et v=y , en trans- 

 formant les différences partielles de S'x, «TjK, ^z, qui entrent dans 

 l'expression de êi" z ; en effet on a 



dèz dè'z dx dê^z dy_ djj^ d^ z dx d^ z dy 



du ^^ dx' du "^ dy ' Tû^ ~JV dx' dv ~' dy' dv^ 



d^y dê-y dx d^y dy^ djy __ <Uy^ dx_ dë^y dy 



du ^^ "dx' dH ' dy ' du "> dv l'os' dv "^ dy ' dv } 



d^x d^x dx d^x dy d^x d^x dx d^x dy 



du dx' d u ~'~ dy ' du ^ d v dx ' d v dy ' dv^ 



et si l'on substitue ces valeurs dans celle de S'z , on verra qu'elle se 

 réduit identiquement à la forme que nous avons trouvée. 



Quand les variations de z et z^ sont trouvées , il est facile d'en 

 conclure celles des différences partielles des ordres supérieurs. En effet 

 ces valeurs donnent d'abord 



' dx 



dans ces équations , z étant une fonction quelconque de x et y, on y 

 peut mettre successivement z , z^ , z" , z\ , etc. , à la place de z : 

 mettant, par exemple, z^ à la place de z^ dans la première équation, 

 il vient 



^Z, — z ^ d X — Z^^ éjr — j^ , 



et à cause de la seconde équation , celle-ci est la même chose que 



d' i^z — z' ^x — z, ^v) 

 J^Z, - Z^J'X ^ Z,<^J = ^-T^ . 



d'oii l'on tirera la valeur de (^z\. Cet exemple suffit pour montrer 

 comment on déterminera les variations de toutes les différences par- 



