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Sur les plans oscillateurs et les rayons de courbure des lignes 

 planes ou à double courbure , qui résultent de l'intersection 

 de deux surfaces; par M. Hachette. 



Mathématiques. De toutes les propositions d'analyse appliquées à la géométrie, les 

 plus importantes sont relatives aux courbures des lignes et des sur- 

 Société Philomat. faces. En les démontrant par des considérations dégagées de tout calcul, 

 n mai 1816. QH augmente le domaine de la géométrie , et les théories les plus 

 abstraites deviennent applicables aux arts les plus usités. Le Mémoire 

 de M. Hachette conduit à une règle générale pour construire graphi- 

 quement avec le seul secours de la géométrie descriptive, les plans 

 osculateurs , et les rayons de courbure des lignes à double ou simple 

 courbure , qui résultent de l'intersection de deux surfaces. Cette règle 

 se déduit des propositions suivantes : 



1°. Une surface réglée (i) ( c'est ainsi que l'auteur nomme la sur- 

 face eupendrée par une droite mobile , quelle que soit d'ailleurs la 

 loi du mouvement) , étant coupée par un pian, qui passe par une 

 droite de la surface, les points d'intersection de ce plan et de toutes 

 les autres droites de la même surface, forment une courbe : le point 

 de rencontre de cette courbe et de la droite de la surface contenue 

 dans le même plan , est un point de contact de ce plan et de la sur- 

 face réglée 3 en sorte que le même plan est à la fois tangent et sécant. 



2°. La normale en un point de la courbe qui résulte de l'inter- 

 section d'une surface et d'un plan , est la projection orthogonale de la 

 normale à la surface au même point, sur le plan de la courbe. 



5°. Une surface élant coupée par un plan , la surface réglée , lieu 

 des normales menées par tous les points de la courbe plane, et la 

 surface cylindrique qui a pour section droite (2) la développée de la 

 courbe, sont circonscrites l'une à l'autre. 



(i) Quelques surfaces de cette famille, qu'on emploie dans les arts graphiques, 

 se wommenl surfaces gauches , on plans gauches. Le mot réglée signifie qu'on peut 

 appliquer l'arêle d'une règle, sur toutes les droites dont la surlace se compose. 

 M. Hachette a démontré précédemment , 1.° que la surface lieu des normales 

 menées par tous les points d'une droite prise à volonté sur une surface réglée , était 

 l'une des cinq surfaces du second degré qu'il a nommée paraholoide hyperbolique; 

 2." que dans le nombre infini de surfaces du second degré, dites hyperboloYdes à 

 une nappe, qui peuvent toucher une surface réglée suivant une droite de cette 

 surface, et avoir avec elle un contact du premier ordre, il y a un de ces hyper- 

 boloïdes, dont le contact suivant la même droite, est du second ordre. 



(2) Ou nomme section droite dHxm cylindre, la section perpendiculaire à ses arête?. 



