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 4". Une ligne à double courbure étant l'intersection de deux sur- 

 faces , on peut la considérer conime appartenante aux deux surfaces 

 réglées , lieux des normales aux surfaces proposées , qu'on mènerait 

 par tons les points de la courbe à double courbure ; si par un point 

 quelconque de cette courbe, on mène un plan qui lui soit perpendi- 

 culaire en ce point, ou plutôt perpendiculaire à sa tangente, ce plan 

 touchera les deux surfaces réglées en deux points, remarquables par 

 cette propriété, que leurs projections sur un plan quelconque passant 

 par la tangente à la courbe à double courbure, sont les centres de 

 courbure des deux sections faites par ce plan sur les surfaces proposées. 

 Menant par le point de la courbe k double courbure que Von considère 

 un plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux points de contact 

 des surfaces réglées et du plan normal à cette courbe, ce plan perpen- 

 di('ulaire sera le plan osculateur de la courbe, et il coupera la droite, 

 à laquelle il est perpendiculaire, en un point, qui sera le centre du 

 cercle osculateur. 



Tl suit évidemment de la troisième proposition, que les cercles oscu- 

 lateurs de toutes les sections d'une surface, dont les plans passent par 

 une même tangente , appartiennent à une sphère , proposition démon- 

 trée par Meusnier j et ce qui n'est pas moins évident^ toules les sec- 

 tions dont les plans font avec une normale à la surface le même angle, 

 ont un même rayon de courbure. 



Ayant construit graphiquement les rayons de courbure de trois 

 sections quelconques, passant par une même normale d'une surface, 

 M. Hachette fait observer qu'on en déduirait facilement les rayons de 

 courbure et les plans osculateurs des ligues de courbure, dont Monge 

 a le premier donné les équations. En elï'et on calculerait ces rayons de 

 courbure, maximum et minimum, au moyen de la formule d'Euler : 



= -^ sin* A + 

 ri 



cos^ A. 



R et r étant les rayons de courbure de la surface, et p le rayon de 

 courbure d'une section normale , dont le plan fait, avec le plan oscu- 

 lateur de la ligne de courbure, l'angle A. ( Voyez la Correspondance 

 sur l'Ecole polytechnique , tome 111, page i54). 



L'application de ces propositions est de la plus haute importance 

 dans les arts graphiques ; elle donne la mesure de la quantité de cour- 

 bure des lignes et des surfaces, dont on n'a déterminé jusqu'à présent 

 que la direction, par les tangentes et les plans tangens. 





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