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Sur une propriété des équations générales du mouvement ; par 



M. Poisson. 



1816. 



Mathématiques. 



Cette propriété est comprise dans la formule que Lagrange donne 

 à la page 32y delà Mécanique analytique( seconde édition), et dont 

 il a fait la base de sa théorie de la variation des constantes arbitraires. Société philomat. 

 Les quantités qui entrent dans cette formule sont les variables rela- -^j^ jg^g^ 



tives a chaque système de mobiles, réduites au moindre nombre pos- 

 sible, et indépendantes entre elles : cette réduction peut être quel- 

 quefois très-difficile à effectuer; mais heureusement elle n'est pas hidis- 

 pensable , et nous allons prouver qu'une équation semblable à celle 

 de Lagrange a également lieu , en conservant des variables quelconques, 

 telles que, par exemple, les coordonnées rectangulaires des points du 

 système. 



Soit donc m, la masse d*un de ces points; a:, j*» ^> ses trois 

 coordonnées 3 V, l'intégrale de la somme de toutes les forces motrices 

 du système, multipliées chacune par l'élément de sa direction; L = o, 

 M = o , etc., les équations de condition du système que l'un consi- 

 dère : les trois équations du mouvement du point m seront 



d^x , dW dh , dM , 



d t^ dx dx dx ' 



d'y , dN dh dM. 



m -7- -f— -=A— - + /A-— + etc., 



dt* dy dj ' dy ' 



d'z , rfV ^L dU 



77Z-— +-- = A-- -\- ht- -j- -\- etc.: 

 di^ dz dz ^ '^ dz ' 



et il y pn aura trois semblables pour chacun des autres mobiles. Les 

 co-cfiiciens A, /a, etc., sont des inconnues qui resteront les mêmes 

 dans les équations des autres points, c'est-à-dire, que les différences 

 partielles de \. seront par-tout multipliées par le même co-efficient A^ 

 celles de M par fji , etc. 



Si l'on intègre toutes ces équations , on pourra exprimer les co- 

 ordonnées des mobiles en fonctions du temps / et d'un certain nombre 

 de constantes arbitraires^ leurs valeurs substituées dans ces mêmes 

 équations, et dans L = o, M = o , etc., auront la propriété de les 

 rendre identiques; on peut donc differentier chaque équation en y 

 conhidérant les variables comme des fonctions implicites des constante"s 

 arbitraires de l'intégration. Ainsi, en désignant, comme M. Lagrange, 

 par tS" une différentielle relative à une portion quelconque de ces- 

 constantes, et par A une seconde différentielle de la même nature, oa 

 aura 



