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considère , et tz le nombre en lier donné. Soient de plus a! et V les 

 plus grandes valeurs entières que l'on puisse attribuer aux variables x 

 et^' dans l équation indéterminée (i) hx — ay '= i 



en supposant toutefois h' < ,r. I<a fraction — étant irréductible par 



hypothèse, et la valeur de h' vérifiant l'équation ha — ah' = i, 

 h et Z>' seront nécessairement premiers entre eux, et l'on aura de plus 



f 



I 



La fraction - jouira donc, relativement à la fraction — , des propriétés 



b b 



-énoncées par le théorème, et pour élablir ce même théorème il 

 suffira de prouver que, parmi toutes les tractions irréductibles uont le 



ilénominateur n'excède pas n, celle qui surpasse immédiatement — 



est précisément -^ . On y parvient de la manière suivante. 



Les diverses valeurs de ^- qui résolvent l'équation (i) forment la 

 prof^rcssion arithmétique . . . . h' — nb, b' — b, b' , h' -^h, h' -{- ib. . . . 

 et puisque b' est la plus grande de ces valeurs qui soit comprise dans ??, 

 on a nécessairement 7z < Z»' + b. 



Soit maintenant — une fraction irréductible et plus grande que --- 



prise parmi celles dont le dénominateur n'excède pas 7i. Si l'on fait, 

 pour abréger, (2) hf — ag =■ m, 



f a m 



on aura — — -— = 7—- 



g h hg 



Ain«;i la différence, des fractions — , ~r sera généralement exprimée 



g b 



par — ^; et, si on donne à m une valeur conslaute en laissant varier 



g, celte différence aura la plus pcfile valeur possible, lorsque g 

 aura la plus grande valeur pu«;sibl?. D'ailleurs les (hverses valeurs de g 

 qui salisfont à l'équation (2) sont évidemment comprises dans la 

 progression arithmétique 



mh' — ih, mh' — b, mh\ mb'+b,^ mh' -\- ib .. 



dont le lerme mh' + b, égal ou supérieur à b' + b, est par suite 

 supérieur à n : et, comme g ne doit pas excéder n, il est clair qu'il 



sera tout au plus égal au terme mb' ; d ou il suit que la iraetion — 

 îie pourra devenir inférieure a — -,7 = -7—7. 



•^ m b b b o 



Donc, parmi toutes les fractions supérieures a — -, et dont le dénom.i- 



