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 qui fournît le moyen d'assigner une quantité moindre que la plus 

 petite de ces différences, et', par suite, de déterminer non-seulement 

 le nombre des racines réelles, mais aussi des limites entre lesquelles 

 chacune des racines est comprise; mais relativement aux équations 

 littérales, la question consiste à trouver des fonctions ralionelles de 

 leurs coèfiiciens , dout les signes déterminent dans cJiaque cas particu- 

 lier le nombre et l'espèce de leurs racines réelles : or ce n'était jusqu'à 

 présent que pour les équations des cinq premiers degrés qu'on était 

 parvenu à former de semblables fonctions, et M. Cauchy s'est proposé 

 de compléter cette partie de l'aigèbre,en donnant une méthode appli- 

 cable aux équations littérales de tous les degrés. Cette méthode est 

 fondée sur la considération des courbes paraboliques, dont Stu'lmg et 

 De^'ua avaient déjà fait usage pour le même objet: on doit la regarder 

 comme une extension de celle que Degua a donnée dans le volume 

 de l'Académie des Sciences pour l'année 1741, et comme une applica- 

 tion des principes posés par ce géomètre. 



Pour en donner une idée, supposons que Téquation proposée soit 

 représentée par/x==o; faisons/ x égale à une nouvelle indéterminée 

 r- l'équation j=y.r appartiendra à une courbe parabohque , c'est-a- 

 "dire à une courbe composée d'une seule branche qui s'étend indéfini- 

 ment dans le sens des abscisses positives et dans celui des abscisses 

 négatives. Les intersections de cette courbe avec l'axe des abscisses 

 répondront aux racines réelles de l'équation proposée; or l'inspec- 

 tion seule de la courbe suffit pour montrer que le nombre de ces 

 intersections surpassera au plus d'une unité le nombre des ordon- 

 nées maxima tant positives que négatives. Lorsqu'il n'y aura qu'un seul 

 maximum entre deux intersections consécutives, le nombre des mter- 

 sections sera précisément égal à celui des maxima augmenté cl'une 

 unité • mais si la courbe éprouve plusieurs sinuosités entre une inter- 

 sectioji et celle qui la suit immédiatement, l'ordonnée partant de zéro, 

 passera par plusieurs maxima et minima successitii avant de redevenir 

 nulle et il est facile de voir que le nombre de ces maxima surpassera 

 touiours d'une unité celui des minima, d'où il résulte que le nombre 

 total des intersections diminué d'une unité est toujours égal au nombre 

 total des ordonnées m^x/mc^; moins te uombre des ordonnées mïm- 



ma ( I ). _„ , , ' . ♦ATI 1 



Ce principe n'est pas modifie par les portions extrêmes de la courbe 

 qui se prolongent indéfiniment au dessus et au dessous de Taxe des 

 abscisses, et dont chacune contient un^ nombre égal de maxima et de 



( ï;) D^Jis tout ceci, le maximum et le minimum se rapporlent aux grandeurs des 

 ordoimèe&t aJbstraclion faite de leurs signes. 



