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mînima. Il a également lieu par rapport à la totalité de la courbe , et 

 lorsque l'on considère séparément la partie qui répond soit aux ab- 

 scisses positives soit aux négatives. En effet il est aisé de voir, par un 

 raisonnement semblable au précédent, que, dans l'une des deux parties, 

 l'excès du nombre des ordonnées maxima sur celui des ordonnées 777/- 

 nima est égal au nombre des intersections, et que, dans l'autre partie, 

 il est égal à ce nombre diminué d'une unité. Mais pour savoir de quel 

 côté cette unité doit être retranchée, on observera que les intersections 

 répondant aux racines réelles de l'équation y\r == o, il suffit de savoir 

 si le nombre des racines négatives est pair ou impair, ce qui se décide, 

 comme on sait, par le signe du dernier terme. 



Les plus grandes et les plus petites ordonnées de la courbe que nous 

 considérons répondent aux abscisses déterminées par la différentielle 

 première de réquationy\x=o, c'est-à-dire, en employant la notation 

 de M. Lagrange, par l'équationy' :r=o. Si donc on la sait résoudre, 

 on connaîtra le nombre total des ordonnées maxima eimi?iima, et il ne 

 s'agira plus que de distinguer les unes des autres. Or, aux sommets des 

 ordonnées maxima positives ou négatives, la courbe tourne sa conca- 

 vité vers l'axe des abscisses 3 elle est au contraire convexe vers cet axe 

 aux sommets des ordonnées minima. Relativement aux premières, les 

 deux quantitésyx ety" x sont des signes contraires, et leur produit est 

 négatif^ par rapport aux secondes, ces quantités sont de même signe, et 

 leur produit est positif. Donc, en substituant toutes les racines réelles 

 de l'équation y :r== G dans la fonction y \r Xy"jr, on connaîtra par 

 les signes de cette quantité combien la courbe a d'ordonnées de chaque 

 espèce, soit dans la partie des abscisses positives, soit dans la partie 

 négative; d'où Ton conclura, d'après les principes précédens,le nombre 

 et les signes des racines réelles de l'équationy^x = o. 



Cette solution du problême suppose, comme on voit, la résolution de 

 l'équationy ' x== o d'un degré inférieur d'une unité à celui de la pro- 

 posée. Elle est due à Degua,qui l'a exposée, avec tous les développe- 

 mens nécessaires, dans le Mémoire cité plus haut. On y trouve aussi 

 les règles qu'il a données pour reconnaître , sans résoudre aucune 

 équation, si la proposée a toutes ses racines réelles, ou bien si elles 

 sont en partie réelles et en partie imaginaires. Mais ce géomètre croyait 

 impossible de fixer le nombre des racines imaginaires quand il en 

 existe, à moins de résoudre une équation du degré immédiatement 

 inférieur à celui de la proposée. 



Tel est le point où Dugua a laissé la question, et où M. Cauchy Fa 

 reprise dans les Mémoires dont nous rendons compte. 



Au lieu de résoudre l'équation y^' x = 0^ formons-en une autre dont 

 les racines soient les valeurs du produit y\r y" x prises avec des signes 



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