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contraires, et correspondantes à toutes les racines réelles ou imaginaires 

 de /' a: = o. Cette équation auxiliaire s'obtiendra par les règles de l'éli- 

 mination , et elle sera du même degré quey :i: = o, c'est-à-dire du de- 

 gré n — I , si l'on suppose que n marque le degré de la proposéey^r = o. 

 Or les valeurs defxj^' x , qui répondent à des racines imaginaires de 

 /' .r = o, pourront quelquefois être réelles; mais alors ce produity .ry" a; 

 aura nécessairement des racines égales. Si donc on suppose d'abord que 

 l'équation auxiliaire n'a pas de racines égales, il sera certain que le 

 nombre de ses racines positives moins le nombre de ses racines néga- 

 tives sera égal à celui des racines réelles de la proposée diminué d'une 

 unité. Ainsi la détermination de ce dernier nombre, pour une équa- 

 tion du degré n , se trouve ramenée à celle de la différence entre les 

 nombres de racines positives et de racines négatives pour une autre 

 équation du degré n — i. Voici comment M. Cauchy résout ce second 

 problême. 



Soit z l'inconnue de l'équation auxiliaire, et Z =: o cette équation, de 

 manière que Z désigne un polynôme en z du degré 7z— i , M. Cauchy 

 forme une seconde équation auxiliaire dont les racines sont les valeurs 

 du produit ZZ" multipliées par celles de z et prises avec des signes 

 contraires, c'est-à-dire les valeurs de la fonction — zTJJ' ^ qui répondent 

 aux racines de Z/ = o; Z' et Z'', désignant à l'ordinaire les deux pre- 

 mières fonctions dérivées de Z. Cette seconde équation auxiliaire s'ob- 

 tiendra, comme la première, par les règles de l'élimination, et elle sera 

 du même degré que Z' =o, ou du degré n — 2. Si l'on suppose qu'elle 

 n'a pas de racines égales, elle jouira d'une propriété qui consiste en ce 

 que la différence entre le nombre de ses racines positives et celui de 

 ses racines négatives, étant augmentée ou diminuée d'une unité, don- 

 nera la même différence relativement aux racines positives et négatives 

 de l'équation Z=o. Cette différence, pour la première auxiliaire, se 

 conclura donc de celle qui a lieu pour la seconde, et il suffira de savoir 

 si l'on doit augmenter ou diminuer celle-ci d'une unité. Or cela dé- 

 pendra uniquement des signes des derniers termes dans les équations 

 Z=: o et Z' = 03 car si elles ont toutes deux un nombre pair ou toutes 

 deux un nombre impair de racines positives, auquel cas leurs derniers 

 termes seront de même signe, il faudra diminuer d'une unité la diffé- 

 rence relative à la seconde auxiliaire pour en conclure celle qui se 

 rapporte à la première ; et, au contraire, il faudra l'augmenter d'une 

 unité, lorsque l'une de ces équations Z=o et Z'=o aura un nombre 

 pair et l'autre un nombre impair de racines positives, c'est-à-dire 

 lorsque leurs derniers termes seront de signes différens. En observant 

 donc que le dernier terme du polynôme 7J est de même signe que 

 l'avant -dernier du poljnome Z,M. Cauchy énonce cette règle gé- 

 nérale ; . 



