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L'excès du nombre des racines positives sur celui des racines néga- 

 tives de l'équation Z = o est égal au même excès, par rapport à la seconde 

 équation auxiliaire, diminué ou augmenté d'une unité, selon que le 

 produit des coefficiens des deux derniers termes du polynôme Z est 

 une quantité positive ou négative. 



Concevons d'après cela que l'on forme une troisième équation auxi- 

 liaire qui se déduise de la seconde, comme celle-ci se déduit de Z = o3 

 puis une quatrième qui se déduise de la troisième, aussi de la même 

 manière, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin on soit parvenu à une 



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passant d une auxiliau-e a la suivante. Sup- 

 posons que, dans chacune de ces w — — i équations, on fasse le produit 

 des coefficiens des deux derniers termes; il résulte de la règle qu'on 

 vient d'énoncer, que la différence entre les nombres de racines positives 

 et de racines négatives de la première auxiliaire Z=:o,sera égale au 

 nombre des produits de cette espèce qui seront négatifs , moins le 

 nombre de ceux qui seront positifs 3 donc aussi, d'après la relation qui 

 existe entre cette auxiliaire et la proposéeX = o, le nombre des racines 

 réelles de celles-ci, diminué d'une unité, sera égal à cette même diflé- 

 reuce entre les nombres des produits de signes différens. 



Ainsi, par les signes de n — i fonctions rationelles des coefficiens de 

 la proposée, on pourra juger du nombre de ses racines réelles. Pour 

 qu'elles le soient toutes, il faudra que toutes ces fonctions soient néga- 

 tives; et pour qu'elles soient toutes imaginaires, il suffira que le nom- 

 bre des positives surpasse d'une unité celui des négatives. Si, par 

 exemple, la proposée est du sixième degré, il y aura pour la réalité 

 de toutes ses racines cinq conditions déterminées; mais, au contraire, 

 pour qu'aucune de ses racines ne soit réelle, il faudra que trois sur 

 cinq quantités soient négatives, condition qui peut être remplie de dix 

 manières difTérentes. 



La règle que M. Cauch}'^ a donnée pour déterminer la difTérence entre 

 les nombres de racines positives et de racines négatives de la première 

 auxiliaire , peut également s'appliquer à la proposée elle-même ; et 

 comme celle-ci est du degré 72, il en résulte qu'en formant un nombre n 

 de fonctions de ses coefficiens, on pourra, d'après leurs signes, 

 déterminer la différence entre les nombres de ses racines réelles de l'une 

 et de l'autre espèces; on en connaît déjà la somme au moyen des 72 — i 

 fonctions précédentes; donc, au moyen de 272 — i fonctions rationnelles 

 des coefficiens de la proposée formées suivant des lois déterminées, 

 on pourra connaître le nombre et l'espèce de ses racines réelles , ce 

 qui est la solution générale du problême que M. Cauchy s'est proposé 

 de résoudre. 



