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tantes d'une intégrale, on reconnaît sans peine que pour donner à la 

 transformée la forme la plus simple, il faut prendre ces deux équations 

 demanicre que les deux différences premières ne changent pas par la 

 variation des constantes. On trouve, alors, pour cette transforrnée, 

 une équation linéaire par rapport aux différences secondes, de même 

 forme que la proposée, et qui contient, en général, les trois diffé- 

 rences secondes de la variable principale. C'est à cette espèce de trans- 

 formation que se rapporte celle que M. Legendre a donnée pour in- 

 téo^rer, ou du moins pour rendre tout-à-fait linéaire l'équation de Vaire 

 immmum^ et d'autres semblables, telle que l'équation qui comprend 

 la propagation du son dans une ligne d'air, lorsque les oscillations 

 à\\ fluide ne sont pas regardées comme infiniment petites. 



Maintenant si l'intégrale particulière d'où l'on part, n'est pas prise 

 au hazard, mais qu'elle provienne d'une intégrale première contenant 

 déjà une constante arbitraire, que l'on a ensuite intégrée avec deux 

 autres constantes, cette circonstance donne lieu à une réduction de 

 la transformée. En effet on prouve aisément qu'alors, une des trois 

 différences secondes disparaît dans cette équation , ce qui peut déjà 

 la rendre plus facile à traiter. De plus si les coëfficiens des secondes 

 difïérences dans l'équation proposée, sont les trois termes d'un carré, 

 on prouve aussi que deux termes disparaissent à la fois dans la trans- 

 formée, et qu'elle est réduite à ne plus contenir que la différence se- 

 conde relative à l'une des deux variables indépendantes, ce qui est 

 la forme la plus simple à laquelle elle puisse être ramenée. On peut re- 

 marquer à cette occasion 5 que, d'après la théorie connue (i), une 

 pareille équation ne comporte qu'une seule fonction arbitraire dans son 

 intégrale complète : il en sera donc de même de toute équation li- 

 néaire par rapport aux différences du second ordre, dans laquelle les 

 coëfficiens de ces différences ont entre eux la relation des trois ter- 

 mes d'un carré; proposition qu'on pouvait bien supposer, mais que 

 personne avant M. Ampère n'avait complètement démonfrée. 



Enfin si l'on est d'abord parvenu à trouver deux intégrales pre- 

 mières de l'équation proposée, renfermant chacune une constante ar- 

 bitraire, et qu'en les employant simultanément, on ait obtenu l'in- 

 tégrale avec trois constantes qui est la base de toute cette anal^^se ; 

 il arrive alors que l'équation transformée perd deux de ses termes, 



{i) Journal de l'Ecole Foljtechnic^ue , treizième cahier, page 107. 



