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 Mémoire sur les intégrales définies ; par M. Cauchy. 



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La considération des intégrales doubles est un moyen que les Mathématiques. 



géomètres ont souvent employé, soit pour trouver les valeurs des 



intégrales définies, soit pour les comparer entre elles. M. Laplace Insiitut. 



s'en est d*abord servi dans son Mémoire sur les fonction 



fonctions de grands a2aoûti8i4. 



qu est londee la première parlK 

 moire de M. Cauchy. ïl prend une fonction dey^ que je désignerai par 

 Y; il y met, à la place dej, une autre fonction de deux variables x 9tz; 

 et il observe qu'on a identiquement : 



K^£) = K^¥:)-' 



d X 



d'où il résulte, en multipliant par dxdz, et prenant ensuite l'intégrale 

 double, 



f a X I d z. 



Ces intégrales sont indéfinies; mais si l'on suppose que l'intégrale re- 

 lative à X est prise depuis a; £= ce jusqu'à a? = a', et l'intégrale relative 

 à z, depuis zz=,h jusqu'à z = b'; que de plus on fasse 



l'équation précédente deviendra, en passant aux intégrales défininies^ 

 ff{x,h^)dx^ ff{x,h)dx^ jY{a',z)dz'-- JF(a,z)dz, (1) 

 Elle établit, comme on voit, une relation entre quatre intégrales dé" 

 finies différentes, qui peut servir à leur détermination; mais M. Cauchy 

 montre, en outre, comment on peut îa partager en plusieurs autres équa- 

 lions , ce qui donne le moyen d'en tirer un plus grand avantage. D'abord 

 il suppose que la fonction prise poury, soit de la forme j^ = m -{- n )/ — i ; 

 l'équation (i) contient alors une partie réelle et une partie imaginaire;- 

 elle se subdivise donc en deux autres , que l'auteur décompose de 

 nouveau, par un moyen que nous ne pouvons pas indiquer ici. Comme 

 on peut prendre pour Y telle fonction dey qu'on veut, et y substituer 

 ensuite, à la place de j, une infinité d'expressions différentes, il semble 

 que l'équation (i) et celles qui s'en déduisent devraient déterminer 



