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quelques lutë^rales nouvelles 3 mais parmi les nombreux exemples 

 que l'auteur aVassemblés clans la première partie de son Mémoire, je 

 n'ai remarque aucune intégrale qui ne fût pas déjà connue, ce qui 

 tient sans doute à ce que son procédé, quoique très-général et très- 

 luiiibrme, n'est pas essentiellement distinct de ceux qu'on a employés 

 jusqu'ici. 



Voici un des résultats les plus généraux qu'il obtient. Soit V une 

 fonction de x; su])possous qu'en y substituant (a + b \/ — i)x à la 

 place de cette variable, elle devienne P-hQv^ — 13 supposons aussi 

 que les produits P x" et Q.t" soieîît nuls, ()our les valeurs jr = o et 

 a: = ^; en prenant les intégrales entre ces limites, et en faisant, pour 

 abréger, 



r = y a' -\' b'', a = r cos. 9, b z^ r sin. 0, 

 M. Cauchy trouve qu'on a, en général, 



COS. 71 ê / ,-7- Tl 1 , 



V Jf^ a 



/■ 



Q X dx z=z . I Y X a X, 



On obtient immédiatement ces formules par. la simple observation, 

 qu'en substituant ( ^ + />v/~: i ) .r à la place do x, les limites de l'in- 

 tégrale restent les mêmes; de sorte qu'on a 



Çy X "-' dx^{a-\-bV'-^)\ (\^'\'^V-'^)x""~^ dx-, 



metlant pour a pXb leurs valeurs. et partageant cette équation en deux 

 autres on trouve les formules citées ; mais par la manière dont 

 M'. Cauchv y parvient, on voit que ces formules sont sujettes à des 

 conditions" relatives aux valeurs extrêmes de P x" et Q a", et à quel- 

 ques autres exceptions 3 ce qui prouve que l'emploi du facteur nna- 

 <rinaire a-¥b\/ — i n'est j)as toujours légitime. 



r 



fonctions comprises sous le signey deviennent \ p( 

 de x et de ;z comprises entre les limites de l'intégration. En effet, on 

 sait qu'une fonction de deux variables qui se présente sous cette forme 

 est réellement indéterminée 3 elle est susceptible d'une infinité de va- 

 leurs différentes, et elle en prend deux, qui ne sont pas les mômes, 

 lorsqu'on y substitue dans deux ordres diliérens les valeurs parti- 

 culières des variables qui la rendent 7. Si donc on a une intégrale 



