187 ) 



jC*^* (^,z)d ûcd z, et que * (x^ z) passe par l'indt^lertniné pour des valeurs 1 o 1 4. 



a; = « etz = ^, comprises entre les limites do l'iiitëgration, il arrivera 

 que l'élémeut «t>(*, f )^.r c?^," qui leur correspond, aura deux valeurs 

 différentes, selon qu'on y fera d'abord :r=c4 et ensuite x = ^, ou selon 

 que l'on commencera par ZZZ.Q', donc l'inte'grale double, qui est la 

 somme de tous les éléaiens, n'aura pas non plus la même valeur, 

 selon que l'on commencera l'intégration par rapport à l'une ou à 

 l'autre variable ; donc aussi les deux membres de réqua[Ion(r) pourront 

 quelquefois n'être pas égaux, puisqu'ils représentent les résultats d'une 

 intégration double, faite dans deux ordres difFérens. 



A cette remarque de M. Cauchy, on doit ajouter qu'au moins l'une 

 des deux valeurs de «i» (.r,z), correspondantes à x'=.tf.ç^i z=:C, doit 

 être infinie j car si elles étaient toutes deux finies, on pourrait né"Iioer 

 l'élément <?>(:/., t) dx dz, sans que l'intégrale^/^o (x, z) dxdz enîût 

 altérée ; el alors sa valeur serait encore la même, quoiqu'on eût efiectué 

 rintés;ration dans deux ordres différons. 



fai 



memi 

 une 



nomme in!i\qra1es singulières. Ce sont des intégrales prises dans' un 

 intervalle infiniment petit, et effectuées sur une fonction contenant 

 elle-même une quantilé inliniment petite, qu'on no doit sui^prinier 

 qu'après l'intégration. Ces intégrales ne se présentent pas ici pour la 

 première fois 3 on en rencontre nne semblable dans le problême d'un 

 corps pesant sur une courbe donnée, lorsque le mobile apiirocbe d'un 

 point où la tangente est borizontale : s'il en est à une distance infini- 

 ment petite, et que sa vitesse soit nulle, le temps qu'il emploie pour 

 l'atteindre tout-à-fait, a une valeur finie qui est déterniinée par une 

 inté2;ral( 



esi 

 grat 



dépend pas de réquation de la courbe, mais seulement de la lonnieur 

 du rayon de courbure au point que l'on considère : et c'est unt cir- 

 constance semblable qui permet à M. Caucby de donner sous une 

 forme très-simple la valeur générale de la quantité A. 



Ce que le Mémoire dont nous rendons compte contient, selon uoxm 

 de plus curieux, c'est l'usage que l'auteur Yaft des iniégraîes qu'il 

 nonune si?igiiJières , pour exprimer d'autres intégrales prises entre des 

 limites finies. Il parvient ainsi à plusieurs résultats déji connus. Cette 

 manière indirecte de les obtenir ne doit pas être préférée aux mé- 

 thodes ordinaires, mais elle n'en est pas moins très-remarquable, et 

 digne de l'ailentiou des géomètres. Il obtient par ce moyen les valeurs 



