( M) 

 C'est le premier nouveau résultat important dû à 

 M. Landsberg. 



Pour v = 0, cette formule devient celle de Kummer. 



IV. L'auteur s'attache ensuite à mettre la somme S qui 

 entre dans la série nouvelle sous une forme telle que l'on 

 obtienne la formule de Stirling et la formule de Stirling 

 généralisée. En laissant aux coefficients R A leur forme 

 primitive, on trouve aisément : 



/°° e~ lx dx e' bt i 



— — [%(x,a-ii)— %(0,a-i>)],x(x,6)= — — --. 







résultat qui peut s'établir d'ailleurs, à partir de la pre- 

 mière formule du n° TI, par une voie plus simple. Pour 

 v = a, S prend la forme qui a servi à trouver la formule 

 de Stirling, par le développement de % suivant les puis- 

 sances croissantes de x. M. Landsberg indique en parti- 

 culier comment on peut obtenir, dans ce cas, la célèbre 

 forme du reste, en intégrale définie, due à Schaar. 

 Dans le cas général, on a : 



X X* 



x(x, b) = i b -*- -<f,6 -+- — — fj> -+- etc., 

 I 1.2 



les ty désignant certaines fonctions bernouilliennes. On en 

 obtient la valeur en comparant cette série au développe- 

 ment trigonométrique connu, lequel peut s'écrire : 



;(*,&) = 2' 



iwih 



+w f tfzihb l X (- i) a X a 



*l7rihb ( "Inih (2jt//i)"~' (x -+- Ixih) 



