SUR UN TABLEAU NUMÉRIQUE, etc. 13 



Donc 



*(»)— (4 + »)(«-*-*)(*■•-«% -#. < 28 ) 



puis 



(3' = ^,p 3 ...; (23) 



comme ci-dessus (*). 

 2° L'égalité (26) donne 



/(«") — ftp*—; 



donc (23) 



j3' = ,tf(ry 2 ) (29) 



3° On sait que «j3/3' = 4 (**). Donc, à cause de 



$(q) = pp': (28) 



--*?) (30) 



a 



4° Le développement du premier membre, suivant les puissances de q, 

 est 2lf( n ) < } n (***)• D'ailleurs, par la définition (24) : 



J( 9 ) = l +(9 + 9' -»-«? 3 + •■•) +(</ + <? 4 + <T + ••)(?* + </' + </ 6 -*-••) | (31) 



Donc, rfaws ceWe nouvelle série, le coefficient de q n es/ <j>(n) ( ,v ). 

 5° On a ce petit théorème d'Arithmétique : 



Le nombre des décompositions de n en parties inégales (ou 9 (m)), tfjwfe 



(*) En 1873, je n'avais point fait attention a ces conséquences de la formule (25) et du 

 tableau numérique. 



(**) Recherches. . . ; page 2. 



(***) /&«/., page 3. 



(") /èî'rf., page 48. On ne doit pas oublier que ai/i) représente le nombre des décom- 

 positions de n en parties entières, positives, inégales. 



