SUR UN TABLEAU NUMÉRIQUE, etc. â3 



Conséquemnient, si l'on change, encore, q en q-, la relation (S) se trans- 

 forme en 



Voici donc une troisième série, formée par des transcendantes elliptiques, 

 dont la somme est connue (*). 



29. Autre sommation. — Reprenons la formule 



' 1 + ,* 



Il en résulte 



(3G) 



v 



q (,- q' 



i -+- q 1 1 -+- 7 1 1 -+- q' 



c'est-à-dire, 



+ • ' • (3!») 



'I + 7 2 — r r + q 1 -*- q" — q" — q 1 + 'f + '/' J -t-7"' — </" — 7' i +r / ,5 — 7"H-. ••(**). (40) 



Dans celte remarquable série, te coefficient de q" est ± I, selon que n 

 égale T{l[i ± 1). 

 En elïet : 



1° Les fractions j-^-j» T-Ç-i» 7-?— ï, ... , produisent des termes dans 

 lesquels n a les formes suivantes : 



1 -+- 2x, 2 +- 4x = 2(1 ■+- 2a:), & -1- 8.r =4(1 -f- 2x) 



donc n = \, 2, 3, 4, 5, ... : fa seV/V renferme toutes les puissances entières 

 de q, sans répétition. 



2° Si n = 2", /e coefficient est + 1 . 



3° Si n = 2* + 2</.2 K+1 = 2"(4f/ -f 1), le coefficient est -\-A. 



4° Si n =2"+ (2? -f l)2* + ' = T(iq + 3), te coefficient est — \. 



(*) J'ai vérifié, directement, l'égalité (Tl 



** Voir, à la page 90 des Recherches, un développement analogue à celui-ci. 



