SUR UN TABLEAU NUMÉRIQUE, etc. 25 



31. Autre transcendante. — De la formule (39), on conclut 



/>4 V 1 ( i 



— • (la = ;irc (g q h — arclg^*) -+- - arc tg(q') h — arc Ig(qr') -+- •• ; . . (42) 

 q 2 4 8 



et, en particulier, 



•I V 



q 







ou (40) : 



/•l v _ 



11111111 1 1 



2 ô 4 5 6 7 8 9 10 il K ' 



32. Dixième application. — Prenons enfin 



«n=-. \ S S ( 42 ) 



1 -+- q" -*- q* 



ou, sous une forme plus commode, 



9*0 - 9 ") 

 1 — q' 



*>- ; 1 (* 3 ) 



Soit, après un changement de notation, 



S=S;A,//" (44) 



1° Si n = 3«j3 h « = (3/3 -f- l)a, la partie correspondante de A„ est + 1. 

 2° Si n — 3 a/3 + 2« ^ (3/3 + 2)«, la partie correspondante de A„ est — I . 

 Par conséquent, 



A„ égale l'excès du nombre des diviseurs de n, ayant la forme 3 y. -\- I, 

 sur le nombre de ceux qui ont la forme 3^ — 1 (*). 



(*) On peut voir, dans les Recherches (pages 73, 7S), une proposition analogue à celle-ci, 

 mais relative au développement de 



q q" q' 



f(q) = -± h — ... 



' w I— </ 1— </ s t-9 s 



Tome XLV11. 4 



