SUR LES FONCTIONS X„. S 



3. .Multiplions, par z", les deux membres de (B), puis faisons croître 

 indéfiniment n. A cause de l'égalité 



I X„z" = —= (fi) 



V 1 — izx + z s 



qui définit X„ (*), nous aurons, en désignant par K„ le second membre de (B) : 



/ r ' + i x"dx s" 



/ — : = 2 K » a "( )• 



Mais, si n surpasse ;j, K„ = (***); donc, simplement, 



r + ' x"dx i-» p(p— I) ... (p — n-*-2) 



/ = 2> 3". . (C) 



•1, 1/1 — 2za; -I- «* «=; (P"*~ * "•" 0(P ■+■ n_ i)--.(p — « ■+■ 3) 



Ainsi, l'intégrale se réduit à un polynôme entier, du degré p, dont tous les 

 termes sont de même parité ( lv ). 



4. Les considérations exposées à la fin du deuxième Mémoire ( v ) per- 

 mettent d'établir, autrement que nous venons de le faire, l'égalilé (C). 

 Posons 



/■ + ' x"dx 

 / ; =/»«. ' • • • (7) 



et 



x" = A,,X, -»- A^jX, .,h (8) 



(*) Premier Mémoire, p. 4. 



(**) La somme doit élre prise à partir de n = 0, ou de n = I, selon que p est pa*V ou impair. 

 ('**) Cette propriété, évidente d'après la formule (B), résulte aussi d'un théorème fondamen- 

 tal, dû à Jacobi. 



(") Celte conclusion est d'accord avec la formule 167 du deuxième Mémoire; mais, en outre, 

 le coefficient de z" est connu. 



(') Pages 88 et suivantes. 



