8 SECONDE NOTE 



Conséquemment, si l'on pose, pour abréger : 



z = (i ■+- z*y — lc,„.(i -+-^) p -'(3+ ~ 5 ) -+-^ c ,.. 2 ( | +* , )'- , (S + io«'-w 4 ) — 



I r2p -+- 1 (2p -i- l)2p(2p — I) , 



2p + 1 



1.2.3 



(10) 



on a cette double identité : 



^s'+. y^- 1 ^-»» . + ... + ^- > )- 5 - 2 z , (ppaJ > ); 



(2s)* p-H (p + 1){p + 3) (p-l)(p+1)(p + 3)(p-t-5) 3.5...2p + 1 



1 /)(p — 1) . p(p — 1)... 3.2 



p H- 2 p(p+- 2) (p + 4) 3.5 . . 2p -h 1 



j* (p impair) . . . . (D) 



7. On en conclurait d'autres, simplement numériques, en ordonnant, 

 suivant les puissances de 3 2 , le polynôme Z (*); et en égalant les coefficients 

 des mêmes puissances de s 2 , dans les deux membres. On obtient ainsi, 

 par exemple, 



1 I d 1 1.2.3...» 



■i-zC,,,*-^,., — -c,, s + -. ±- - = 2' — — ; • • . (il) 



a ô 7 *P + * 1.3.5...2p+1 



relation connue, dont la vérification est facile. 



8. La valeur de Z, répondant à z — 1, est 



2" - - C,.,.2 p +' -h - C„, 2 .2"*- 5 ± • 2". 



3 S 2p -t- I 



Par conséquent, 



ic p , 1 .2 + V 2 .2 2 - -±- 



3 "" 5 "•' 2p -h I 



I P P(p-l)(p-2) p(p — 1)-5.2 



p+1 (p+l)(p+3) (p-l)(p+l)(p+3)(p+5) B.8..:^TT [' () 



1 p(p— I) / J (/> — D --3.2 



p + 2 p(p -+- 2)(p -i- 4) 3.5...2p ■+- I 



(p impair). 



(*) Ce polynôme, dont le degré est 2p, ne doit contenir aucun terme en z°, ; 2 , ; car 



il est divisible par z p . 



