REMARQUES SUR CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES. o 



Je pense que cette remarquable intégrale clélinie est nouvelle. Quand 

 /3 = 2, elle se réduit à 



ou 



r -î— - ( I + a — S*«+«) rf i = J; 2 ; 

 ./ i — x 







valeur connue (*). 



V. Dans l'égalité 



f [a(«9(x) — pa^**-V(*^)]rf« — Ç, (5) 



le second membre est une fonction de /S : C= F(,3). La dérivée de la quan- 

 tité entre parenthèses est 



— x «/3+3-'<p(x<3) — p [(a + l)<p(x?)+ -i a 9'(-''' ; M x '^- x i J X. 



Donc 



/ j-^'-' | ç(«*) + ?[(« + l)<p(x)-+-x'V(x")] Jfxj rfx = - F'(p). . . ('.») 



O 



En particulier, si <f(x) = f— ^ 



/M _(«+•) /S- 1 , | 

 ç-j 1 — X* +|Sr(«+ l)(l — X 3 )H-X J 1 Çx S rfj = — 7 . . (10) 

 (1 — x<V L ' P 



o 



Voici donc une autre intégrale définie, d'apparence compliquée, dont la 

 valeur est fort simple. Lorsque a = 0, 



/'(rS^-^w^-y") ci) 



et, si /5 = 4 : 



f — — - 1(1 - x)(l +-Z+ \S!x) + xÇx\ dx= - 1. 



J (1— x)' 







(*) Note sur une formule de M. Botésu. Ce cas particulier a été l'occasion du petit travail 

 actuel. 



I**) La vérification est facile. 



