NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



DES FONCTIONS X/>. 



I. Première propriété. — Soit 



2 2' 2» 



ou, par une sommation facile, 



S p= / (* — 2x')»d* (2) 







Si l'on fait # = sin?, on trouve 



S, = / *cos F 29 . cos<prf<p (3) 







Cette intégrale est celle qui entre dans la formule (F) (**). Donc 



/ x'(X, -t-X,., -4-«.)rfx= / (1 — 2x')"rfx (A) 



ô 



II. Deuxième propriété. — L'intégration par parties, effectuée sur l'éga- 

 lité (2), donne aisément 



(2p+l)S,-2pS,_, = (-!)- (4) 



En conséquence : 



f '[(2p + l)x'(X, + X,_, -f- ...) - 2p*'-'(X,_ t + X,_ 5 + .-.)] dx = (- 1)" . (B) 



(*) Addition à la Seconde Note sur les fondions X„ (Académie de Belgique, août 1886). 

 (**) Seconde Note sur les fonctions X n , p. 9. 



