4 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



III. Troisième propriété. — Si, dans l'équation (4), on change p en 

 p — \,p -%..., I, on trouve, par addition, 



(2p-+-1)S p = S„_, + 8 P _,-+- ...-+- S„ + J, (S) 



selon que p est pair ou impair (*). Par suite, 



/ *[(2p -+- 1)x*(X„ + V« + -) - ï H (Vi + V* + -) ( 



r v .... (c) 



— x"- 2 (X„_ 2 + X p . 4 -+- •••) X„]rfx = un o» zéro (**). ) 



IV. Sm'/e. — La relation (S) équivaut à 



f'[{2p + 1) (t — 2x 2 )" — (I — 2x 2 )"-' (I — 2x 5 ) — \]dx = * • 







Dans la parenthèse, la partie négative égale ^L^j/ • Si donc la différen- 

 tielle est représentée par F(oc)dx, on a 



*W — ^2x* U 



La fraction est la dérivée de '- (1 -j^' ,+ ' _ p ar conséquent : 



/" (8p + !)(! — 2x')" +1 - 2(p + 4)(l — ax'V ■*- 1 _ (I — 2xY +l — I . 



J 



./' 



•(2p-+- t)d — 2xT +1 - 2(p -+- 1)(1 — 2x 2 )"-t-1 



— dx=(— \y +l — 1 • . - (E) 



V. /4ît/res intégrales. — Faisons, comme précédemment, a? = siny. Nous 

 aurons : 



/•?(2» -+- 1)cos' +, 2cp — 2(p -+- 1)cos"2cd -t- \ cos'" fl 2<p — 1 

 / i-l 1 ■ coscpdcp = : , . . (D ) 



J sin'9 sin<p 



o 



/■f (2p + l)oos^2c P -2(p + Ocorty -h 1 _ ( . <r _ , _ ^ 



, / sin'cp 



(*) A cause de S = \ . 



**) On arrive au même résultat en faisant varier p dans l'égalité (B). 



