6 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



VIII. Relation combinatoire. — Dans f'(x), le coefficient de x* k est 



(_ 2)*C„ t - (4p + 9)(- 2)<-'C,. t _, + (4p +■ 10)(- 2)'-'C„ t _, , 

 OU 



- (- 2)'-'[2C p , t + (Ap + ^C,,»., + (2p + 5)C M _,]. 



Dans f(x), le coefficient de aj 2k+d est 



-(-2) 4 -'[2C p+M +C, +M _,]. 



Par conséquent, 



2C Pii -h (4/) + 9) C„ t _, + (2p + 5)C M _, = JR/(2A 4- 1) f) . . . (L) 



Soient, par exemple, p = 5, k = 3. On doit trouver 



2C M + 29C 6 , S + 15C M = 3TL(7), 



OU 



385 = JH(7); 



ce qui a lieu. 



IX. Théorème. — La fonction X n satisfait à l'équation 



r d'+'xj 



A Jx 5 — 1 " — - = -± ; -, (M) 



dans laquelle A p es/ un coefficient numérique. 



Dans la Première Note sur les fonctions X n (**), j'ai donné la formule 



/x' — I (IX n , Q v 



« (n -+- I ) ax 

 -t 



OU 



r rfx„i 



4 (<l - 4) *J 



(*) La valeur du second membre est (2fe + 1)[2C^ M + C, H . 4 _,]. Si Ton en fait abstraction, 

 l'égalité (L) paraît assez difficile à démontrer directement. 

 (**) Académie de Belgique, octobre 1880. Voir aussi le second Mémoire, p. 31. 



