DES FONCTIONS X„, 7 



Celle-ci est comprise dans la relation générale (M) : elle répond à p = 0. 

 Supposons donc que l'égalité (M) ait été vérifiée pour une certaine 

 valeur de p, et voyons si elle subsiste quand on y change p en p -J- 1 . 

 Après suppression du facteur (# 2 — l) p , (M) devient 



A. — — = (x * — i) , _,_, h- 2(» -4- l)ar — ■ - . 



p dx" v y dx p+ ' yy dx"*' 



Prenant les dérivées, nous avons 



d<"-'X rf^'X d'+'X 



ou 



d'+'X rf p+I x„ d' +, X, 



Le second membre est la dérivée de 



d' +, X 

 (x« — 1)<~« 2. 



Ainsi, 



r d^xj 



rf p+ 'X„ V ; dx"+' 



Af+t(X ' dx^ dx 



etc. De plus, 



A, + , = A P - 2(p + 1) (11) 



Et comme A = n(n + l): 



A p =(n — p)(« -t-p-*- 1) (12) 



X. Corollaire. — SîYou /art 



d"X, 

 ( ' dx' " 



on a 



u, + . = a p 



/ 'v p dx (N) 



— « 



XL Application. — Soit n = 5, auquel cas 



U = X, = - (6ôx s — 70x 3 h- 1 5x) ; 



