8 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



puis, par application de la formule (N) : 



U, = — f (65x 5 — 70 j 3 -i- 15x)dx= — (21 x 6 — 55x' -h I5x s - I), 

 -i 



U, = ^i /* (21x 7 — 35x 4 + 1 5x' — -I )dx = — (3x 7 — 7x» + 5x s — x), 



U s = ° ' * f (3x 7 — 7x"-t- 5x 5 — x)dx = -^-î-i(9x e — 28x 6 + 50x* — 12x s -t- 1), 

 -i 



etc. 



XII. Théorème. — La fonction X n satisfait à l'équation 



B„ / dx f dx ... C Xjx = (x 8 — 1) 



dx p 



(P) 



p désignant le nombre des intégrations. 



Lorsque p==i, cette égalité se réduit à la formule (9). Voyons donc si, 

 en partant de (N), nous pouvons conclure 



dxj dxj dx... J X„à = (f-ir-j^; . . . (13) 

 -i -i -i -i 



le nombre des intégrations étant, cette fois, p + 1 • 

 En vertu de la relation (N), l'égalité (13) devient 



B,y ( } dx« (x i > d****' 



ou, si nous prenons les dérivées, 



i^-'rm 



^(««^Ijr^^-i -d, (14) 



B p * ; dx" dx 



Cette égalité est identique avec (M), si l'on suppose 



nr~v- • • • « 5 ) 



p 



la relation (N) est donc démontrée. 



